1.2 场、梯度、散度和旋度

1. 场

如果在一个空间区域中，某个物理量在其中每一点都取确定值，就称这个空间区域存在该物理量的场。如果这个物理量是标量，就称这个场是标量场；若这个物理量为矢量，则称这个场是矢量场。例如温度场、电势场是标量场，电场、磁场是矢量场。

2. 标量场的方向导数和梯度

由上述标量场的定义可知，标量场中分布在各点的物理量u是场中点坐标的单值函数，即

这里，r代表三个空间坐标（x，y，z）。若给定了函数u的具体形式，标量u在场中的分布就完全确定了。在研究标量场时，常常还需要知道u在场中各点沿各个方向的变化情况，u在场中的变化情况往往具有更重要的物理意义。例如，若u为电势φ，φ在场中各点的变化就决定了各点的电场强度。若u是温度，u在各点的变化就决定了这些点上热传导进行的方向和速度。为了讨论场在空间各点的变化，首先引入方向导数的概念。

（1）方向导数

在场中取一点M0，由M0点引射线l，其方向由方向余弦（cosα，cosβ，cosγ）确定。在l上取另一点M（见图1.2-1）。记▽u=u（M）-u（M0），定义u在M0点沿l的方向导数为

方向导数描述u在M0点沿l方向的变化率。

设函数u在M0点可微，方向导数在直角坐标系下可表示为

式中为函数 u在该点的偏导数；cosα，cosβ，cosγ为方向余弦。

（2）梯度

一般来说，在场中一点沿着不同的方向l，标量场u有不同的方向导数，如果在标量场u中定义一个矢量G：

式中，ex，ey，ez是沿直角坐标系坐标轴x，y，z方向的单位矢量。在场中任意点，矢量G是唯一的。记沿l方向的单位矢量为el，由式（1.2-3）得

θ是矢量G，el的夹角。式（1.2-5）表明G具有这样的意义：它在任意方向的投影就给出沿这个方向u的方向导数。因此，矢量G的方向就是u变化率最大的方向，其模就是变化率的最大值。式（1.2-4）中G称为标量场u的梯度。记为grad u=G。引进矢量微分算子（del算子）

则梯度可以记为

【例1-1】 已知标量场，求空间一点P（1，1，1）的梯度和沿l=2ex+2ey+ey方向的方向导数。

解：首先由

根据梯度公式（1.2-7），得标量场φ在P点的梯度为

l的单位矢量为

由方向导数与梯度之间的关系式（1.2-5）可知，沿el方向的方向导数为

3. 矢量场的通量和散度

在研究矢量场时，为形象起见常引进矢量线来描述矢量场。矢量线上每一点的切线方向即为该点矢量场的方向，每一点矢量场的大小由过该点且与该点矢量场垂直的单位面积上穿过的矢量线条数表示。矢量线的疏密分布形象地反映了矢量场强度的分布。有两种不同的矢量场：一种矢量场，它的矢量线从场中一点发出，终止在另外一点上或无穷远处，这类矢量场称为纵场；另一种矢量场，其矢量线没有起点及终点，是无头无尾的闭合回线，这类矢量场称为横场。横场和纵场具有完全不同的物理意义和数学性质。

（1）矢量场的通量

矢量场A沿场中任一有向曲面S的积分

称为矢量场A穿过面S的通量。当式（1.2-8）中的S为一小闭合曲面时，取曲面正法向由内向外，记S包围的空间区域为Ω，其体积为▽V。由于横场矢量线是闭合曲线，横场对任何闭曲面的通量为零，仅纵场对式（1.2-8）的积分贡献才可以是非零的。当式（1.2-8）中Ψ为正值时，表明有纵场矢量线从Ω中发出，Ω中有纵场源；若Ψ为负，表明有纵场线终止在Ω中，Ω中有吸收矢量线的汇。如果把汇看做是负源，穿过闭合曲面S的通量Ψ不为零，就表明Ω中存在纵场源。

在直角坐标系中矢量A可表示为

式中，Ax，Ay，Az是矢量场A沿坐标轴的三个分量。

又在直角坐标系中有向面元dS可表示为

式中，cos（n，x），cos（n，y），cos（n，z）为有向面元dS外法线n的方向余弦，dσ为面元面积。

故矢量场A穿过任一小闭合有向曲面S的通量在直角坐标系中可表示为

根据数学中的高斯积分公式，式（1.2-11）变为

利用积分中值定理，式（1.2-12）变为

式中，M0为闭合曲面S所围区域Ω中的一点，Ω的体积为▽v。

（2）矢量场的散度

在矢量场A中取一点M0，作一包围M0点的闭合有向曲面S，设S包围的空间区域为Ω，体积为▽v。以▽Ψ记为穿过S的通量，当Ω以任意方式缩向M0时，极限值

称为矢量场A在M0点的散度，记为div A。由此可见，矢量场中任一点的散度，就表示纵场中该点的源强度。

由式（1.2-13）和式（1.2-14）可知，在直角坐标系中，一个矢量A的散度可表示为

引用del算子，即式（1.2-6），矢量场A的散度可简记为

（3）高斯散度定理

在矢量分析中，一个重要的定理是

∮SA·dσ =∫V ▽·Adτ

称为高斯定理。它的意义是：任一矢量场A的散度的体积分等于该矢量场A穿过该限定体积的闭合面的总通量。

【例1-2】 已知A=exx+eyy+ezz，计算该矢量场的散度 ▽·A。

解：由直角坐标系中的散度公式，即式（1.2-15）有

4. 矢量场的环量、环量面密度和旋度

（1）环量

设有矢量场A，称A沿场中任一有向闭曲线L的积分，即

为矢量A沿L的环量。可以证明纵场对任意闭合回路的环量恒为零，只有横场才有不为零的环量。为了理解环量的物理意义，在这里我们取A为磁场H，根据安培环路定理，式（1.2-17）的积分就表示通过有向闭合曲线L所围一曲面的电流强度。电流是激发磁场的源，若Γ不为零，则表明L所围区域中横场A的源不为零。这在后面的章节中将详细说明。

在直角坐标系中有向线元dl可表示为

式中，cos（n，x），cos（n，y），cos（n，z）为有向线元dl的方向余弦，dl为线元的长度。

故A沿L的环量在直角坐标系中可以写为

（2）环量面密度

为了描述横场中任意一点源的强度，我们首先引进环量面密度的概念。取矢量场A中一点M0，在M0点取定方向n，过M0点作一微小曲面▽S，以n为其在M0点的法向矢量，取▽L为▽S的周界，▽L绕行方向与n成右手螺旋关系。则可定义矢量场A沿▽L的环量与面积▽S之比，在▽L缩向M0点情况下的极限，即

为A在M0点沿方向n的环量面密度。

下面我们给出直角坐标系中环量面密度的计算公式。利用斯托克斯公式，A沿L的环量可写成

注意：此处cos（n，x），cos（n，y），cos（n，z）为有向闭合曲线围成的有向面元外法线n的方向余弦。

利用积分中值定理，式（1.2-21）变为

式中，M0为微小曲面▽S上的一点。

由式（1.2-20）可知，M0点环量面密度应为

（3）旋度

显然环量面密度的大小依赖于方向n，故环量面密度不能描述横场中各点的源强度。如果我们定义矢量

则R在场中任一点具有一个确定的值。定义R为矢量场的旋度，记为rot A。可见旋度在任意方向上的投影就给出了沿该方向的环量面密度。从而旋度方向就是环量面密度取最大值的方向，R就是环量面密度的最大值。

引用del算子，矢量场A的旋度可简记为

（4）斯托克斯定理

对于矢量场A所在的空间中，任意一个以C为周界的曲面S，存在着如下关系

其意义是：矢量场旋度的面积分，等于该矢量沿包围此曲面的闭合路径的线积分。它同散度定理一样，是场论中的重要定理，在后面的讨论中，经常要用到这种积分变换关系。

*5. 亥姆霍兹定理

前面我们介绍了矢量分析中的一些基本概念和运算方法。其中矢量场的散度、旋度和标量场的梯度都是场性质的重要度量。换言之，一个矢量场所具有的性质，可完全由它的散度和旋度来表明；一个标量场的性质则完全可以由它的梯度来表明。亥姆霍兹定理就是对矢量场性质的总结说明。在阐述亥姆霍兹定理之前，先介绍两个零恒等式，它们分别表明梯度矢量和旋度的一个重要性质，并对场的分析、引入辅助位函数起着重要作用。

（1）两个零恒等式

①恒等式Ⅰ与无旋场

梯度矢量的一个重要性质就是：任何标量场的梯度的旋度恒等于零。即

恒等式Ⅰ的逆定理也成立，即如果一个矢量的旋度为零，则该矢量可以表示为一个标量场的梯度。

将逆定理应用于电磁场理论中，可以引入辅助位函数，以方便求解场矢量。例如静电场，因 ▽×E=0，可引入标量电位函数Φ，令

式中，负号表明E矢量沿Φ减小的方向。

如果矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零，即 ▽×F=0，则这种场不可能存在旋涡源，因此称为无旋场。

无旋场，也称位场、保守场。因无旋场中，F= ▽u，由斯托克斯定理：

可见场力F沿闭合曲线路径做功等于零，场能无变化，故称保守场。

如图1.2-2所示，F沿闭合路径的积分又可分为两线段积分之和：

于是

可见，线积分与路径无关，只与始末位置有关，这样的场称为位场。静电场就是这样的场。

②恒等式Ⅱ与无散场

旋度的一个重要性质是：任何矢量场的旋度的散度恒等于零。即

恒等式Ⅱ的逆定理是：如果一个矢量场的散度为零，则它可表示为另一个矢量的旋度。

该定理应用于电磁场研究中，可引入辅助矢量位（即矢势），有利于场矢量的求解。例如恒定磁场，因 ▽·B=0，可引入矢量磁位A，令

如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零，即 ▽·F=0，则这种场中不可能存在通量源，因而称为无散场，或无源场。恒定磁场就是这样的场。

由散度定理可知，无散场F穿过任何闭合曲面S的通量都等于零，即

【例1-3】 已知F=ex（3y-C1 z）+ey（C2 x-2y）-ez（C3 y+z）

（1）如果F是无旋的，试确定常数C1、C2、C3；

（2）将Ci代入，判断F能否表示为一个矢量的旋度。

解：（1）因为 ▽×F=0，即

所以 C1 =0，C2 =3，C3 =2。

（2）只有当 ▽·F=0时，才可使F= ▽ × A，因此须计算F的散度看是否为零。

▽·F= -1≠0

可见F不能表示为一个矢量的旋度，本题中F属有源无旋场。

（2）亥姆霍兹定理

可以证明，在有限的区域V内，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件（即限定区域V的闭合曲面S上的矢量场的分布）唯一地确定，这就是亥姆霍兹定理。

该定理可以从下述两个方面来理解。先看矢量场F在空间的变化率。F的散度，反映了F在坐标轴上的分量沿这个坐标的变化率；而F的旋度，则反映了这些分量沿其他坐标的变化率，两者结合起来，即给定了F的所有分量沿空间各个坐标的变化率。依照积分方法，原则上可以确定这个矢量函数F，最多相差一个常矢量。但当边界上的场矢量值给出时，这个矢量也可以确定。于是该矢量唯一确定。对于无界空间，F仅由它的散度和旋度确定。这时，我们可视它们自然满足无限远边界面上场矢量为零的自然边界条件。

现在，我们再从矢量场的“源”这个角度来说明这个问题。一般矢量场可能既有散度、又有旋度，则这个矢量场可表示为一个没有旋度只有散度的无旋场分量Fi和一个没有散度只有旋度的旋涡场分量Fs之和：

无旋场Fi的散度不恒等于零（否则，Fi无源不存在），设为ρ（x，y，x），则

无散场Fs的旋度不恒等于零，设为J（x，y，z），则

F的散度代表通量源密度ρ（x，y，x），F的旋度代表矢量场的一种旋涡源密度J（x，y，z）。因为场是由它的源引起的，所以场的分布由源的分布决定。现在矢量的散度、旋度为已知，即源分布已确定，自然矢量场分布也就唯一地确定了。

亥姆霍兹定理非常重要，它总结了矢量场的基本性质，是研究电磁场理论的一条主线。无论是静态场，还是时变场，都要研究场矢量的散度、旋度以及边界条件，得出像式（1.2-35）、式（1.2-36）那样的方程，我们称这些方程为矢量场的基本方程的微分形式。如果从场矢量的通量、环量两方面去研究，便会得到场矢量基本方程的积分形式。