§2.1 消元法原理

导学提纲

1．线性方程组的一般形式是什么？

2．何谓线性方程组的一个解？解方程组的目的是什么？

3．何谓两个线性方程组同解？

4．对线性方程组可以施行哪些同解变换？

5．观察例题、动手做习题，体会消元法步骤；怎么判定线性方程组有唯一解、无解以及有无穷多解？

本章讨论一般线性方程组

其中x1, x2, …, xn是未知量；aij（i=1,2, …, s; j=1,2, …, n）表示第i个方程xj的系数；bi（i=1,2, …, s）表示第i个方程的常数项．

定义2.1.1 分别用数c1, c2, …, cn代替x1, x2, …, xn，如果使方程组（1）中每一个方程都变成恒等式，则称n元有序数组（c1, c2,…, cn）是方程组（1）的一个解．解方程组就是判断（1）是否有解？若有解，求出全部解．

定义2.1.2 设线性方程组解，则称这两个方程组同解或等价．

如果线性方程组（1）的解都是（2）的解；并且（2）的解也都是（1）的

定理2.1.1 对线性方程组（1）施行以下三种变换，所得方程组与（1）同解．

（1）对换两个方程（换法变换）；

（2）用非零数c乘以某一个方程（倍法变换）；

（3）将某一个方程的k倍加到另一个方程上去（消法变换）.

证 不失一般性，设方程组

对换（3）中两个方程，得方程组

设（c1, c2, c3）是（3）的解，则有恒等式组

成立．即有恒等式组

成立．所以（c1, c2, c3）是方程组（4）的解，同理可证，如果（d1, d2, d3）是（4）的解，那么也是（3）的解，这就证明了（3）与（4）同解．

用非零数c乘以（3）中第1个方程，得方程组

设（e1, e2, e3）是（3）的解，则有恒等式组

成立．当c≠0时，也有恒等式组

成立，这表明（3）的解（e1, e2, e3）也是（5）的解．反之，设（d1, d2, d3）是（5）的解，则有恒等式组

成立，因为c≠0，用乘以第1个恒等式，得恒等式组

这表明（d1, d2, d3）也是（3）的解，因此（3）与（5）同解．

将（3）中第1个方程的k倍加到第2个方程上去，得方程组

设（c1, c2, c3）是（3）的解，则有恒等式组

成立．将第1个恒等式两边乘以k加到第2个恒等式两边，得恒等式组

这表明（3）的解（c1, c2, c3）是（6）的解．反之，设（d1, d2, d3）是（6）的解，则有恒等式组

成立．将第1个恒等式两边乘以（-k），加到第2个恒等式两边，得恒等式组

这表明（6）的解（d1, d2, d3）也是（3）的解，所以（3）与（6）同解．

今后称定理2.1.1中的三种变换为线性方程组的同解变换．

用消元法解线性方程组，就是对方程组施行一系列同解变换，使每一个方程保留一个未知量，消去其余方程中这个未知量，直到能判断出解的情况为止．

例2.1.1 解线性方程组

解 对换 ①②，得

②′-4①′, ③′-3①′，得

③″-2②″，得

由此可知方程组有唯一解，由③‴得x3=3；将x3=3代入②‴，得x2=-1；将x2=-1, x3=3代入①‴，得x1=2，唯一解是（2, -1,3）.

例2.1.2 解线性方程组

解 ②-4①, ③-3①，得

③′-②′，得

③″是矛盾方程，无解．因而方程组无解．

例2.1.3 解线性方程组

解 ②-3①, ③-4①，得

③′-②′，得

③″是多余方程，只需解方程组

易见方程组有无穷多解，①″-2②″，得

移项

x3是自由未知量，全部解为

其中c为任意数．

习题2.1

用消元法解下列线性方程组：