2.4 作用在曲面壁上的静水总压力
在实际工程中承受水压力作用的受压面多为曲面，例如涵洞进水口、拱坝坝面、弧形闸门、泵的球形阀、圆柱形贮液设备的壁面等。
作用于曲面上任意点的静水压强的方向仍是沿着作用面的法线方向，其大小与该点所处的水下深度成线性关系。但曲面上各点的法线方向各不相同，通常不交于一点，此时，作用在曲面上的总压力可看作一个空间力系问题。为便于分析，拟采用理论力学中的分解概念将其分解为水平分力和垂直分力，分别求解。曲面上的静水总压力即为二者的合力。
2.4.1 总压力的大小、方向、作用点
2.4.1.1 曲面上静水总压力的大小
当二维曲面的母线为水平线时，可取oz轴铅直向下，oy轴与曲面的母线平行。此时二维曲面在xoz平面上的投影将是一根曲线。在这种情况下，Py=0，问题转化为求Px和Pz的大小及其作用线的位置。
如图2.14所示，AB为母线垂直纸面的柱形曲面，柱面左侧承受静水压力作用，水面与大气相通。在曲面AB上，深度为h处取一微元柱面EF，面积为dA。由于该柱面极小，故可将其近似为一平面，则作用在此微元柱面上的静水压力dP=pdA=γhdA，其方向指向dA内法线方向，并与水平面成夹角θ。dP可分解成水平分力dPx和垂直分力dPz两部分。
图2.14 作用在曲面上的静水总压力
（1）水平分力Px
dPx=dPcosθ=γhdAcosθ （2.17）
式中 dAcosθ——dA在铅直平面yoz上的投影dAx，下标x表示该投影面的法线方向与x轴平行。整个曲面AB上的水平分力为：
（2.18）
表示曲面AB在铅直面yoz上的投影面对水平轴oy的静面矩。如以hC表示铅直投影面形心的淹没深度，则由静面矩定理，得
于是，得
Px=γhCAx （2.19）
式中 Ax——曲面AB在yoz坐标面上的投影面积。
式（2.19）表明：作用于二维曲面AB上的静水总压力P的水平分力Px等于作用于该曲面的铅直投影面Ax上的静水总压力，这就将曲面上的静水总压力的水平分力转化为了平面上的静水总压力。
（2）铅直分力Pz
dPz=dPsinθ=γhdAsinθ （2.20）
式中 dAsinθ——dA在铅直平面xoy上的投影dAz，下标z表示该投影面的法线方向与z轴平行。整个曲面AB上的铅直分力为：
（2.21）
从图2.14可以看出，式中γdAz为微元曲面EF上所托起的液体体积；由积分的几何意义可知，
为整个曲面AB上所托起的液体体积，称为压力体，用V表示。于是
Pz=γV （2.22）
式（2.22）表明：作用在曲面上静水总压力的铅直分力等于充满压力体的液体重量。
（3）静水总压力
对作用在受压曲面AB上静水总压力P的大小为水平分力Px和铅直分力Pz的合力，即：
（2.23）
2.4.1.2 曲面上静水总压力的方向
静水总压力的方向是以P与水平面的夹角θ来表示的：
（2.24）
2.4.1.3 曲面上静水总压力的作用点
Px的作用线通过面积Ax上压强分布图的形心并水平指向曲面，Pz的作用线通过压力体的重心。总压力P的作用线应必通过Px和Pz的交点，且与水平面成θ角。将P的作用线延长至受压面，其交点D即为总压力在曲面上的作用点。
以上讨论的虽是简单的二维曲面上的静水总压力，但所得结论完全可以应用于任意的三维曲面，所不同的是：对于三维曲面，水平分力除了在yoz平面上有投影外，在xoz平面上也有投影，因此水平分力除了有ox轴方向的Px外，还有oy轴方向的Py。与确定Px的方法相类似，Py等于曲面在xoz平面的投影面上的总压力。作用于三维曲面的铅直分力Pz也等于压力体内的液体重量。三维曲面上的总压力P由Px、Py、Pz合成，即
（2.25）
合力的方向用方向角α、β、γ的余弦来确定，即
（2.26）
【例2.3】 图2.15为一坝顶圆弧形闸门的示意图。门宽b=6m，弧形门半径R=4m，此门可绕O轴旋转。试求当坝顶水头H=2m、水面与门轴同高、闸门关闭时所受的静水总压力。
图2.15 计算简图
【解】 水的重度γ=9.8kN/m3，水平分力为：
铅直分力等于压力体ABC内水重。压力体ABC的体积等于扇形AOB的面积减去三角形BOC的面积，再乘以宽度b。已知BC=2m，OB=4m，故∠AOB=30°。
压力体ABC的体积=（4.19-3.46）×6=0.72×6=4.38（m3）
所以，铅直分力Pz=9.8×4.38=42.9（kN），方向向上。
作用在闸门上的静水总压力P为：
P与水平线的夹角为α，则：
因为曲面是圆柱面的一部分，各点的压强均与圆柱面垂直且通过圆心O点，所以总压力P的作用线必通过O点。
2.4.2 压力体与浮力
2.4.2.1 压力体
压力体应由下列界面所围成：
①受压曲面本身，压力体的底面；
②自由液面或自由液面的延长面，压力体的顶面；
③由受压曲面边界向自由液面或自由液面的延长面所作的铅垂柱面，压力体的侧面。
因曲面承压的位置不同，压力体有以下三种情况。
①实压力体。压力体和液体在曲面AB的同侧，压力体所包含的是实际液体，称此压力体为实压力体，其作用力的铅直分量方向向下，如图2.16（a）所示。
图2.16 压力体
②虚压力体。压力体和液体在曲面AB的两侧，压力体所包含的是虚设的液体，称此压力体为虚压力体，其作用力的铅直分量方向向上，如图2.16（b）所示。
③混合压力体。部分曲面的压力体是实的，部分曲面的压力体是虚的，这样的压力体称为混合压力体。此时，需将这两类压力体进行叠加，如实压力体大于虚压力体，铅直力的方向向下，反之方向向上，如图2.16（c）所示。
2.4.2.2 浮力
公元前250年古希腊科学家阿基米德提出了阿基米德定律：淹没物体上的静水总压力只有一个铅垂向上的力，其大小等于该物体所排开的同体积的水重。
液体对淹没物体上的作用力称为浮力，浮力的作用点在物体被淹没部分体积的形心，该点称为浮心。
一切浸没于水中或漂浮于水面上的物体都受两个力的作用：物体自身的重力和浮力。重力的作用线通过重心，垂直向下；浮力的作用线通过浮心，垂直向上。设液体容重为γ，物体重量为G，体积为V，则它在重力和浮力的共同作用下，可有以下三种情况。
①G>γV，物体下沉，直到底部，这样的物体称为沉体。
②G=γV，物体可以在液体中的任何深度维持平衡，这样的物体称为潜体。
③G<γV，物体上浮，直到部分物体浮出水面，使物体所排开的液体重量和自重刚好相等后，才保持平衡状态，这样的物体称为浮体。