3.4 恒定流的能量方程_水力学与桥涵水文-QQ阅读男频都市网

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3.4　恒定流的能量方程

前一节连续性方程只说明了流速与过水断面的关系，是一个运动学方程。从本节起将进一步从动力学的观点来讨论各运动要素之间的关系。由于水流运动过程就是在一定条件下的能量转化过程，因此水流各运动要素之间的关系，可以通过分析水流的能量守恒定律求得。水流的能量方程就是能量守恒定律在水流运动中的具体表现。

3.4.1　元流能量方程

（1）理想液体恒定元流的能量方程式

设想在理想液体恒定流中取一微小流束，并截取1—1及2—2断面之间的ds流段来研究（图3.12）。流段ds可看作横断面面积为dA的柱体沿着s方向运动。

图3.12　理想液体恒定流微小流体

根据牛顿第二定律，作用在ds流段上的外力沿s方向的合力，应等于该流段质量与其加速度的乘积。

作用在微小流段上沿s方向的外力有：过水断面1—1及2—2上的动水压力，重力沿s方向的分力dGcosα=γdAdscosα，流段侧壁上的动水压力在s方向没有分力，由于考虑的是理想液体，侧壁上摩擦力为零。令在1—1断面上动水压强为p，其动水压力为pdA，2—2断面上的动水压强为（p+dp），其动水压力为（p+dp）dA。若以0—0为基准面，断面1—1及2—2的形心点距基准面高度分别为z及z+dz，则，故重力沿s方向的分力为。

对微小流段沿s方向应用牛顿第二定律，则有

　　（3.13）　　

对恒定元流，u=u（s），故

　　（3.14）　　

将式（3.14）代入式（3.13）简化后可得

　　（3.15）　　

将式（3.15）沿流程s积分，则有

　　（3.16）　　

对元流上任意两个过水断面有

　　（3.17）　　

这就是理想液体恒定元流的能量方程式（由于元流的过水断面面积可以无限小，流线是元流的极限，所以流线的能量方程式也就是元流的能量方程式）。该方程式是由瑞士学者伯努利于1738年首先提出的，因此也称作伯努利方程，它是水力学中一个十分重要的基本方程。下面对其物理意义和几何意义进行讨论。

从物理角度看，z表示单位重量液体相对于某基准面所具有的位能（重力势能）；表示单位重量液体所具有的压能（压强势能）；表示单位重量液体具有的动能。因一般重力势能与压强势能之和称为势能，势能与动能之和称为机械能，故式（3.16）的物理意义是：对于重力作用下的恒定不可压缩理想液体，单位质量液体所具有的机械能沿流程为一个常数，即机械能是守恒的。由此可见，能量方程式实质上就是物理学中能量守恒定律在水力学中的一种表现形式。

从几何角度看，z表示元流过水断面上某点相对于某基准面的位置高度，称为位置水头；称为压强水头；称为测压管水头；称为流速水头，亦即流体以速度u垂直向上喷射到空气中时所能到达的高度（不计射流自重及空气阻力）；而则称为总水头。故式（3.17）的几何意义是：对于重力作用下的恒定不可压缩理想流体，总水头沿流程为一常数。

（2）实际液体恒定元流的能量方程式

由于实际液体都具有黏滞性，在流动过程中，液体质点之间的内摩擦阻力做功而消耗部分机械能，使之转化为热能耗散掉，因此实际液体的机械能将沿程减少，即存在能量损失。

设为元流中单位重量液体从1—1过水断面至2—2过水断面的机械能损失，则根据能量守恒定律，可得实际液体恒定元流的能量方程为

　　（3.18）　　

式中　——元流的水头损失（或比能损失），具有长度的量纲。

实际液体恒定元流的能量方程式可用几何曲线表示（图3.13）。元流各处过水断面的测压管水头连线称为测压管水头线，总水头的连线则称为总水头线。这两条线清晰地表示了液体三种能量（位能、压能和动能）及其组合沿程的变化。

图3.13　实际液体恒定元流能量方程式的几何表示

实际液体流动的总水头沿程的降低值与流程长度之比，称为总水头线坡度，亦称为水力坡度（即总水头线向下倾斜的陡缓程度）。它表示单位重力液体在单位流程上的水头损失，用J表示，即

　　（3.19）　　

从式（3.19）可知，对于理想液体，J=0（因=0），故理想液体恒定元流的总水头线为一条水平直线；对于实际液体，J>0（>0），因此，实际液体恒定元流的总水头线总是沿程下降的。

沿单位流程上的势能（即测压管水头）减少量称为测压管坡度，用Jp表示。按定义有

　　（3.20）　　

测压管水头线沿程可升（Jp<0）可降（Jp>0），也可不变（Jp=0），主要是取决于水头损失及动能与势能之间相互转换的情况。

当为均匀流时，流速u沿程不变，，此时由式（3.19）和式（3.20）得出Jp=J，即均匀流的水力坡度与测压管坡度恒等。

（3）毕托管——元流能量方程的应用

在科学试验中，广泛用着一种测量水流速度的仪器，叫做毕托管。毕托管是一根很细的弯管，如图3.14所示，其前端和侧面均开有小孔。当需要测量水中某点流速时，将弯管前端置于该点并正对水流方向，前端小孔和侧面小孔分别由两个不同通道接入两根测压管，测量时只需要读出这两根测压管的水面差，即可求得所测点之流速。该点流速就是利用能量守恒的关系求得的，现将其原理分析如下。

图3.14　毕托管示意

如图3.14（a）所示，设先将一根弯管的前端封闭，弯管侧面开一小孔，把弯管正对水流方向，把侧面开孔处置于欲测点A的位置，此时弯管（相当于测压管）中水面上升到某一高度h1，测压管所量得的高度代表了该点的动水压强，即。假定A点水流流速为u，若以通过A点的水平面为基准面，A点处水流的总能量。

假定再以另一根同样的弯管，如图3.14（b）所示。侧面不开孔，在其前端开一小孔，将弯管的前端置于A点并正对水流方向。弯管放入后，由于A点水流受弯管的阻挡，流速变为零，动能将全部转化为压能，使测压管中水面上升至高度h2。此时h2代表A点处水流的总能量，即H=h2。上述两个不同弯管所得的A点总能量相同，故

　　（3.21）　　

由此可求出A点的流速

　　（3.22）　　

式中　Δh——两根测压管的水面差值。

真正的毕托管并不是要用两根弯管进行两次测量，而是把两根管子纳入一根弯管当中，将前端的小孔和侧面的小孔分别由不同的通道接在两支测压管上。由于两个小孔的位置不同，因而测得的不是同一点上的能量，加之考虑毕托管放入水流中所产生的扰动影响，需要对式（3.22）加以修正，一般乘以修正系数φ，即

　　（3.23）　　

式中　φ——毕托管的校正系数，一般取值为0.98～1.0。

3.4.2　总流能量方程

前面已经得到了实际液体恒定元流的能量方程。但是，在工程实际中要求我们解决的往往是总流问题，如液体在管道、渠道中的流动问题，因此还需要掌握总流的能量方程。

3.4.2.1　恒定总流能量方程

将式（3.18）各项同乘以γdQ，得单位时间内通过元流两过水断面的全部液体的能量关系式

　　（3.24）　　

将上式在总流的过水断面上积分，可得到单位时间内通过总流两过水断面的总能量之间的关系为

或

　　（3.25）　　

上式共有三种类型的积分，现分别确定如下。

①第一类积分。该积分表示单位时间内通过总流过水断面的液体势能的总和。如要求得该积分，则要知道总流过水断面上各点的分布规律。从理论上说，的分布规律与过水断面上的流动状况有关。在急变流断面上，各点的不为常数，其变化规律因具体情况而异，积分较为困难。但在渐变流过水断面上，液体动水压强近似的按静水压强分布，即各点的近似等于常数。因此，若将过水断面取在渐变流或者均匀流上，则

　　（3.26）　　

②第二类积分。它是单位时间内通过总流过水断面的液体动能总和。由于过水断面上流速分布一般难以确定，工程实际中为了计算方便，常用断面平均流速v来代替u，由于u的立方和大于v的立方和，即，故需要乘以一个修正系数α才能使之相等，因此

　　（3.27）　　

式中　α——动能修正系数，。

α的取值取决于总流过水断面上流速的分布，一般α=1.05～1.10，但有时可达到2.0甚至更大，在工程计算中常取α=1.0。

③第三类积分。它是单位时间内总流1—1过水断面和2—2过水断面之间的机械能损失。根据积分中值定理可得

　　（3.28）　　

式中　hw——单位质量液体在两个过水断面间的平均机械能损失，称为总流的水头损失。

将式（3.26）、式（3.27）与式（3.28）代入式（3.25），考虑连续性方程Q1=Q2=Q，则化简后得

　　（3.29）　　

式（3.29）即为不可压缩实际液体恒定总流的伯努利方程，又称为总流的能量方程。它与实际液体元流的能量方程形式类似，但不同的是在总流的能量方程中是用断面平均流速v计算流速水头，并考虑了相应的修正系数，而在元流的能量方程中是用点的流速计算流速水头。式（3.29）中各项的物理意义及几何意义与元流的伯努利方程中各对应项的物理意义及几何意义相同。由于总流的水头损失机理十分复杂，关于hw的计算将在后面的章节中专门讨论。

3.4.2.2　总流能量方程应用条件

在解决大量实际水力学问题中，恒定总流的能量方程应用广泛，因而要求深入领会其物理意义、建立条件和适用范围，并正确掌握运用的方法和步骤。从该方程的推导过程中可以看出，它是在一定条件下建立的，因而该方程具有一定的应用条件。

（1）能量方程应用条件

①均质不可压缩液体的恒定流。

②作用在液体上的质量力只有重力。

③建立能量关系的两个过水断面，应符合均匀流和渐变流条件，但在所取的两个过水断面之间，允许存在急变流。

④在所取的两个过水断面之间，总流的流量保持不变（没有分流或汇流情况）。在两个过水断面之间除了水头损失之外，没有其他的机械能输入或输出。

应当指出，虽然在推证过程中使用了流量沿程保持不变的条件，但总流能量方程中的各项都是指单位重量液体的能量，所以在水流有分支或汇合的情况下，如图3.15所示，仍可分别对每一支水流建立能量方程式，现以图3.15（b）为例，列式如下（推导过程省略）：

　　（3.30）　　

图3.15　液流分流或汇流

式中　hw1-3、hw2-3——分别表示单位重量液体从1—1断面到3—3断面，2—2断面到3—3断面的能量损失。

当流程中途有能量输入或输出时，其能量方程应表达为如下形式：

　　（3.31）　　

式中　Ht——过水断面间通过外加设备使单位重量液体所获得或减少的机械能。输入能量时，式中Ht前符号取“+”号，输出能量时取“-”号。

（2）应用能量方程时的注意事项

为了正确应用能量方程，还需要注意以下几个问题。

①选取基准面时，z是过水断面上任意一点（称为计算点）相对于某一基准面的位置高程，基准面的选择是可以任意的，但两过水断面的计算点必须选取同一基准面。一般选在较低位置上，使位置水头大于等于零。

②方程中的动水压强，可以采用绝对压强，也可以采用相对压强，但在同一方程中p1和p2必须采用相同的表示方法。在路桥工程中，研究对象一般都处在大气包围中，所以大多采用相对压强。

③过水断面上的计算点原则上是可以任意选取的，这是因为在均匀流或渐变流断面上任意一点的测压管水头相等，即；并且对于同一个过水断面，平均流速水头的值，与计算点的位置无关。但一般为了计算方便，对于有压管流，一般选取管轴中心点作为计算点，对于具有自由表面的无压流（明渠流），计算点一般取在自由表面处或渠底处。