第6章　生产技术和生产函数

1．若生产函数为，的边际产量是多少？和的边际技术替代率是多少？该生产技术的规模报酬是递增、递减还是不变？

解：，的边际产量是1。边际技术替代率为：。

设，，故该生产技术是规模报酬不变的。

2．若生产函数为，如果，的边际产量是多少？如果，的边际产量是多少？和的边际技术替代率是多少？该生产技术的规模报酬如何？

解：如果，那么，因此的边际产量是1。此时边际技术替代率为无穷大。

如果，那么，因此的边际产量是0。此时边际替代率为0。

设，，规模报酬不变。

3．1987年诺贝尔经济学奖获得者罗伯特·索洛（Robert Solow）在1957年的一篇论文中，以作为整个经济的生产函数来估算技术进步对美国生产率发展的作用，其中，为技术进步因子，、分别为资本、劳动投入。更一般地，我们有，，。

（1）讨论该生产函数的规模报酬。

（2）写出两种投入的边际产量函数。

（3）给出和的值，使得和的边际产量均为递减，而规模报酬却为递增。

解：（1）设，，当，规模报酬递减；当，规模报酬不变；当，规模报酬递增。

（2）资本的边际产量函数为：；

劳动的边际产量函数为：。

（3）边际产量递减，则其二阶导数小于0。，因此。同理可得：。时，规模报酬递增。

因此，和的值为：，且。

4．某厂的生产技术只使用劳动和资本两种投入。该厂总工程师发现生产技术呈规模报酬不变。他说，在这种条件下，劳动生产率（每个工人的平均产量）只是每个工人的平均资本量的函数。他说得对不对？

答：对。设生产函数为：，则劳动生产率为：

其中，是工人的平均资本量。

5．某技术员发现，每小时劳动投入的边际产量是10单位，而劳动和资本之间的边际技术替代率是5。问资本的边际产量是多少？

解：因为，劳动与资本之间的边际替代率为：，因此资本的边际产量为2。

6．如果边际产量是递减的，那么平均产量也一定是递减的，对不对？请解释。

答：不对。只要边际产量大于平均产量，平均产量就递增。如图6-5所示，在边际产量递减时，平均产量也可能是递增的。

图6-5　平均产量与边际产量

7．在以下生产函数里，哪些呈现规模报酬递增、递减或不变？哪些违背了边际报酬递减律？

A．。

B．。

C．。

D．。

E．。

解：令生产函数

如果，其中，常数，则生产函数规模报酬递增。

如果，其中，常数，则生产函数规模报酬不变。

如果，其中，常数，则生产函数规模报酬递减。代入计算可得：

A．，故规模报酬不变。

B．，故规模报酬不变。

C．，故规模报酬不变。

D．，故规模报酬递增。

E．，故规模报酬递增。又，显然大于0，从而，边际报酬递增，违背了边际报酬递减律。

8．对习题7里的生产函数计算边际技术替代率。

解：A．，当，。，，劳动对资本的边际技术替代率为0；当，。，，劳动对资本的边际技术替代率无穷大；当，。，，劳动对资本的边际技术替代率为。

B．，，，边际技术替代率为。

C．，，，边际技术替代率为。

D．，，，边际技术替代率为。

E．，，，边际技术替代率为。

9．根据本章关于边际产量和平均产量的关系，试证明当边际产量曲线和平均产量曲线相交时，平均产量达到最高水平。

证明：边际产量和平均产量之间有一定的关系：当边际产量大于平均产量时，平均产量就上升；当边际产量小于平均产量时，平均产量就下降。按照定义，劳动的平均产量为，其中为生产函数。对平均产量求导得到：

根据定义，即劳动边际产量，即劳动平均产量。于是，上式可以写成：

显然，当时，的导数为正，平均产量递增；当时，的导数为负，平均产量递减；当时，的导数为零，平均产量达到最大值，即平均产量曲线和边际产量曲线相交于平均产量曲线的最高点。