2.2　随机误差的正态分布

随机误差是由一些偶然因素造成的，它的大小和正负具有随机性。当进行大量次数测定时，就会发现随机误差服从一定的统计规律，即符合正态分布规律。

2.2.1　正态分布

若以概率密度（y）对测定值（x）与总体平均值（μ）的差值ξ²（=x-μ）作图，便可得到随机误差的正态分布曲线，也称为高斯分布曲线（Gauss C.F.，1809），见图2-2。

由图2-2可以看出随机误差的分布具有如下规律性。

（1）单峰性　当x=μ时，y值最大，即分布曲线的最高点，它体现了测定值的集中趋势，即测定值出现在平均值μ附近的概率最大，并呈现一个峰值，故称之为单峰性。

（2）对称性（相消性）　曲线以通过x=μ这一点的垂直线为对称轴，说明正误差和负误差出现的概率相等，即为“对称性”。由此，随机误差又具有“相消性”。

（3）有界性　当x趋近于-∞或+∞时，曲线以x轴为渐近线，说明小误差出现的概率大，大误差出现的概率小，特大误差出现的概率极小，趋近于零。因此，随机误差的分布具有有限的范围。

（4）精密度与分布曲线的关系　由图2-2可见，σ越大，即精密度越差，测定值落在μ附近的概率越小，正态分布曲线就越平坦。反之σ越小，正态分布曲线就越尖锐。

图2-2　正态分布曲线（μ同，σ不同）

因此，μ和σ是随机误差的正态分布的两个重要的基本参数。前者反映测定值分布的集中趋势，后者反映测定值分布的离散程度。这种正态分布曲线以N（μ，σ²）表示。因为不同的总体有不同的μ和σ，曲线的位置和形状就会相应改变。为方便起见，常将正态分布曲线的横坐标改为以u为单位表示。则可将正态分布曲线标准化，即为u分布。u定义为：

　　（2-20）

标准正态分布以N（0，1）表示。正态分布曲线的纵坐标的最高位置总是位于u=0处，最高点的数值为一恒定值，其形状与σ无关。标准正态分布曲线见图2-3。

图2-3　随机误差的标准正态分布曲线

2.2.2　随机误差的区间概率

随机误差的正态分布曲线（见图2-2和图2-3）与横坐标-∞～+∞之间所夹的面积，代表所有数据出现概率的总和，其值为1。通过计算或查表可求出横坐标值不同范围内正态分布曲线下的面积，从而就可得知随机误差（或测定值）在不同区间范围内出现的概率，简称区间概率。常见的区间概率如下：

由此可见，随机误差超过±3σ的测定值出现的概率是很小的，仅占0.3%，因此，如果进行多次重复测定中个别数据的误差的绝对值大于3σ，则这些测定值可以舍去。