命题I.1

已知一条线段可作一个等边三角形。

设：AB为已知的线段。

要求：以线段AB为边作一个等边三角形，以A为圆心、AB为半径作圆BCD；再以B为圆心、以BA为半径作圆ACΕ；两圆相交于C点，连接CA、CB。

因为：A点是圆CDB的圆心，故AC等于AB（定义I.15）。

又，点B是圆CAΕ的圆心，故BC等于BA（定义I.15），CA等于AB；所以：线段CA等于CB等于AB。

因为等于同量的量互相相等（公理I.1）；所以：CA等于CB。所以：三条线段CA、AB、BC相等。

所以：三角形ABC是作在线段AB上的等边三角形。

证完

注解

将这一命题作为《原本》的第一命题是令人愉快的，三角形结构清晰，对等边三角形的证明过程，也条理清晰，当然对C点可以有两个选择，任意一个皆可。或许，欧几里得应将命题I.4作为《原本》的第一命题，因为该命题逻辑上不依赖于前三个命题；但是，欧几里得的第一命题的选择，也自有他的理由。首先，本书接触五个正多边形，从一个正三角形开始，有其美学意义。另外，命题I.2和命题I.3皆需要命题I.1，命题I.2和命题I.3给出了移动线的结构，命题I.4虽然在逻辑上不依赖于命题I.2和命题I.3，但却引用了叠合的概念，从某种意义上讲，是移动的点和线。

欧几里得在某个命题结束时，用了“证完”一词。这是几何学命题证明结束的一个标准。尽管两千多年来这部天才的巨著受到了历代数学批评家们的挑剔，并且他们也指出了不少漏洞，但丝毫无损它的光辉。本命题是两千余年来受到批评最多的一个命题，批评者指出，如此简洁明了的命题，却充满了漏洞，这是陈述不够充分的逻辑裂缝。为什么生成C点？证明一开始，点C就被设定为圆的相交点，但它的存在却没有证明。欧几里得虽然在平行公设里说到点的生成，但那一公设却与该命题无关。所以点C的存在不能获得保证。事实上，在几何学模式中，不相交的圆自然是存在的，因此，在这里出现了欧几里得尚未定义的公设。在第3卷中，欧几里得小心谨慎地分析圆相交的可能情况，但无论他怎么小心，还是得出了错误的定理。

为什么ABC是一个平面图形？在总结了线段AC、AB和BC相等以后，就确定ABC是平面图形，三条线段并未表明在一个平面内，却构成了平面图形，缺乏逻辑链。命题X.1中声明了“三角形在一个平面内”，从逻辑上讲，这两个命题应该被置于第一卷的第一命题。然而二者却没有被置于第一命题，这显然是因为第10卷中的命题属于立体几何，而《原本》中，立体几何从平面几何发展而来。从历史观点的考察来看，无疑是这样的。

不能排除这种可能性：边可以构成多次多区域的相交，就像泡沫链一样。这里需要证明（或者设立公设）：两条无限延伸的直线至少能在一点相交。

命题的应用

这一命题直接应用在本卷的命题I.2、I.9、I.10、I.11及命题X.11、X.12中。