命题I.39

有共同底边位于同侧面积相等的三角形的另两点的连线平行于底边。

设：ABC、DBC是以BC为底边在BC同侧面积相等的三角形。

求证：它们在两平行线间。

连接AD，那么：AD平行于BC。

假定：AD不平行于BC，过A点作AΕ平行于BC（命题I.31）。

连接ΕC。

因为BC是共用边，它们同底等高（命题I.37），那么：三角形ABC的面积等于三角形ΕBC的面积。

而ABC的面积等于DBC的面积，所以：DBC的面积也等于ΕBC的面积（公理I.1），那么大等于小，这是不可能的。

所以：AΕ不是BC的平行线。

同理：能证明除AD以外的其他线段不是BC的平行线。

所以：AD是BC的平行线。

所以：有共同底边位于同侧面积相等的三角形的另两点的连线平行于底边。

证完

注解

本命题的部分是命题I.37的逆命题，仅仅是部分，因为两个三角形ABC和三角形DBC有相同的边，即线段BC上的边。如果它们不是，那么AD将不能与BC平行，而是穿过其中点。

本命题应用在命题VI.2中。