命题I.47

在直角三角形中，以斜边为边的正方形面积等于以两直角边为边的正方形面积之和（两直角边的平方和等于斜边的平方）。

设：ABC是直角三角形，其中∠BAC是直角。

求证：BC为边的正方形面积等于以BA和AC为边的正方形面积之和。

作BC为边的正方形BDΕC，且作BA和AC为边的正方形BAGF和ACKH。过A作AL平行于BD，也平行于CΕ，连接AD和FC（命题I.46、I.31）。

因为∠BAC和∠BAG皆是直角，在一条直线BA上的一个点A有两条直线AC、AG不在它的同一侧所成的两邻角的和等于两直角，于是CA与AG在同一直线上（定义I.22、命题I.14）。

同理，BA也与AH在一条直线上。

因为∠DBC等于∠FBA，它们是直角，每个角加上∠ABC，于是：总∠DBA等于总∠FBC（定义I.22、公设I.4、公理I.2）。

因为DB等于BC，FB等于BA，边AB和BD分别等于边FB和BC，且∠ABD等于∠FBC，所以：底边AD等于底边FC，且三角形ABD的面积等于三角形FBC的面积（定义I.22、命题I.4）。

现在，平行四边形BDLO的面积是三角形ABD的面积的两倍，因为，它们有同底边BD，且在相同平行线BD和AL之间。

又，正方形GFBA是三角形FBC的面积的两倍，因为它们有同底FB，且在相同平行线FB和GC之间（命题I.41）。

所以：平行四边形BDLO的面积也等于正方形GFBA的面积。

类似地，如果连接AΕ和BK，平行四边形OLΕC的面积也能被证明等于正方形ACKH的面积。

所以：总正方形BDΕC的面积，等于FBAG和ACKH两个正方形的面积之和（公理I.2）。

又，BDΕC正方形是作在BC上的，且正方形FBAG和ACKH是作在BA和AC上的。

所以：BC为边的正方形的面积等于BA和AC为边的正方形的面积之和。

所以：在直角三角形中，以斜边为边的正方形的面积等于两直角边为边的正方形的面积之和。

证完

注解

这就是著名的毕达哥拉斯定理（又名勾股定理）的证明。

本命题应用在下两个命题中，其逆命题用在第2卷命题II.9～II.14中，其余各卷中也有应用。