命题II.4

如果一条线段被任意切分为二，以该线段为边的正方形的面积等于两条小线段上的正方形的面积之和再加上两条小线段所构成的矩形面积的两倍。

设：线段AB在C点被切割。

求证：AB上的正方形等于AC上的正方形加CB上的正方形再加AC、CB构成的矩形的两倍。

令：作AB上的正方形ADΕB，连接BD，过C点作CF平行于AD或ΕB，过G点作HK使之平行于AB或DΕ（命题I.46、I.31）。

那么因为CF平行于AD，BD与它们相交，同位角∠CGB等于∠ADB（命题I.29），又因为BA也等于AD，因此：∠ADB等于∠ABD；

所以：∠CGB也等于∠GBC；

所以：BC边也等于CG边（命题I.5、I.6）；

而CB等于GK，CG等于KB；

所以：GK也等于KB；

所以：CGKB是菱形（命题I.34）。

进一步说：它们也是直角。

因为CG平行于BK，∠KBC加上∠GCB等于两个直角的和（命题I.29），而∠KBC为直角；所以：∠BCG也是直角。所以：对∠CGK、∠GKB也为直角（命题I.34）。

所以：CGKB为正方形，是以CB为边作出的。

同理可证：HDFG也是正方形，作在HG线上；也就是AC线上；

所以：正方形HDFG、CGKB分别就是AC上与CB上的正方形（命题I.34）；

那么现在，因为GC等于CB，故：矩形AHGC等于矩形GFΕK，矩形AHGC是AC、CB构成的矩形；

所以：矩形GFΕK也等于AC、CB构成的矩形。

所以：矩形AHGC加矩形GFΕK就等于AC、CB构成的矩形的两倍（命题I.43）。

又，正方形HDFG和CGKB的和也等于AC、CB上的正方形的和，所以：正方形HDFG、CGKB、矩形AHGC和矩形GFΕK四个图形相互加就等于AC上的正方形的面积加CB上的正方形的面积再加AC、CB构成的矩形的两倍。

又，正方形HDFG、CGBK、矩形AHGC与矩形GFΕK的和等于ADΕB，也就是AB上的正方形，所以：AB上的正方形等于AC上的正方形加CB上的正方形再加AC、CB构成的矩形的两倍。

因此：若一条线段被任意点切分为二，以线段为边的正方形的面积等于两条小线段的正方形的面积之和，再加上两条小线段所构成的矩形的面积的两倍。

证完