命题II.9

如果一条线段先后被分成相等和不相等的线段，那么，不相等线段上的各正方形的面积之和，等于原线段一半上的正方形与两个分点之间一段上正方形的面积之和的两倍。

设：线段AB在C点等分，在D点不等分。

求证：以AD、DB为边的正方形面积之和是AC、CD上的正方形的面积之和的两倍。

从C点作CΕ与AB垂直，且使CΕ等于AC。连接ΕA和ΕB。过D点作DF平行于ΕC，再过F作FG平行于AB。连接AF（命题I.11、I.3、I.31）。

因为：AC等于CΕ，∠ΕAC也等于∠AΕC（命题I.5）。

又，因为在C点的角是直角，∠ΕAC、∠AΕC之和等于一个直角（命题I.32）。且它们相等，所以：∠CΕA和∠CAΕ各是一个直角的一半。

同理，∠CΕB和∠ΕBC也皆是一个直角的一半。所以：∠AΕB是直角。

又，因为∠GΕF是一个直角的一半，且∠ΕGF是直角，它与∠ΕCB是同位角，其余角（这里并非现代数学中的互余的角，下同）∠ΕFG是一个直角的一半，所以：∠GΕF等于∠ΕFG。于是：ΕG也等于GF（命题I.29、I.32、I.6）。

又，因为在B点的角是一个直角的一半，且∠FDB是直角，它也等于同位角∠ΕCB，其余∠BFD是一个直角的一半。

所以：在B点的角等于∠DFB。

于是：FD也等于DB（命题I.29、I.32、I.6）。

因为：AC等于CΕ，AC上的正方形的面积也等于CΕ上的正方形的面积。

所以：以AC、CΕ为边的正方形的面积之和是以AC为边的正方形的面积的两倍。

又，以ΕA为边的正方形的面积等于以AC、CΕ为边的正方形的面积之和，因为：∠ACΕ是直角。

所以：以ΕA为边的正方形的面积是以AC为边的正方形的面积的两倍（命题I.47）。

又，因为：ΕG等于GF，以ΕG为边的正方形也等于GF为边的正方形。

所以：以ΕG、GF为边的正方形之和是以GF为边的正方形的两倍。

又，以ΕF为边的正方形的面积等于以ΕG、GF为边的正方形的面积之和。

所以：以ΕF为边的正方形的面积是以GF为边的正方形的面积的两倍（命题I.47）。

而，GF等于CD，所以：以ΕF为边的正方形的面积是以CD为边的正方形的面积的两倍（命题I.34）。

又，以ΕA为边的正方形的面积也是以AC为边的正方形的面积的两倍。

所以：以AΕ、ΕF为边的正方形的面积之和是以AC、CD为边的正方形的面积之和的两倍（命题I.47）。

且AF上的正方形等于AΕ、ΕF上的正方形之和，因为∠AΕF是直角。从而AF上的正方形是以AC、CD上的正方形的两倍。

又，以AD、DF为边的正方形的面积之和等于以AF为边的正方形的面积，因为：在D点的角是直角。所以：以AD、DF为边的正方形的面积之和是以AC、CD为边的正方形的面积之和（命题I.47）。

又，DF等于DB。所以：以AD、DB为边的正方形的面积之和是以AC、CD为边的正方形的面积之和的两倍。

所以：如果一条线段先后被分成相等和不相等的两段，那么，不相等线段为边的正方形的面积之和等于原线段上一半的正方形与两个分点之间一段上正方形的面积之和的两倍。

证完