命题II.11

可以切分已知线段，使它与一条小线段构成的矩形面积等于余下线段为边的正方形的面积。

设：AB为给定线段。

求作：切分AB，使总线与其中小线段构成的矩形面积等于以余线面积为边的正方形的面积。

在AB上作正方形ABDC，在Ε点平分AC，连接BΕ。延长CA到F，使ΕF等于BΕ，在AF上作正方形FAHG，延长GH至K（命题I.46、I.10、I.3、I.46）。

那么：AB被H点所分，AB、BH构成的矩形面积等于AH为边的正方形的面积。

因为：线段AC在Ε点被平分，FA是它的加线，以CF、FA构成的矩形加上以AΕ为边的正方形的面积等于以ΕF为边的正方形的面积（命题II.6）。

又，ΕF等于ΕB。所以：以CF、FA构成的矩形面积加以AΕ为边的正方形的面积之和等于以ΕB为边的正方形的面积。

又，以AB、AΕ为边的正方形的面积之和等于以ΕB为边的正方形的面积，因为：在A点的角是直角。

所以：以CF、FA构成的矩形面积加以AΕ为边的正方形的面积等于以BA、AΕ为边的正方形的面积之和（命题I.47）。

令上面两方各减去以AΕ为边的正方形的面积。

于是：余下以CF、FA构成的矩形面积等于以AB为边的正方形的面积。

现在，以CF、FA构成的矩形是FCKG，因为，AF等于FG，且以AB为边的正方形是AD。所以：FCKG的面积等于AD的面积。

令上面两边减去AK，于是：余值FH等于HD。

又，HCDB是以AB、BH构成的矩形，因为，AB等于BD，且FAHG是AH为边的正方形。所以：AB、BH构成的矩形面积等于HA为边的正方形面积。

所以：给定线段AB在H点被切分，AB、BH构成的矩形等于HA为边的正方形的面积。

所以：可以切分已知线段，使它与一条小线段构成的矩形面积等于余下线段为边的正方形的面积。

证完