命题III.3

平分非直径的弦的直径垂直于这条弦；反之，垂直于弦的直径平分这条弦。

设：CD是通过圆ABC圆心的直径，平分不过圆心的弦AB于F点。

求证：CD垂直于AB。

令：找到圆ABC的圆心E，连接EA、EB（命题III.1）。

那么因为AF等于FB，而FE为公共边，两边相等，且第三边EA等于第三边EB，所以：∠AFE等于∠BFE（定义I.15、I.8）。

又因为一条直线与另一条直线相交，所形成的邻角相等时，每个角皆为直角，所以：∠AFE、BFE皆为直角（定义I.10）。

所以：过圆心的线CD与不过圆心的线AB相交成直角。

又设：CD和AB垂直。

那么：CD二等分AB，即AF等于FB。即为平分线。

因为EA等于EB，那么：∠EAF也等于∠EBF（命题I.5）。又因为直角∠AFE等于直角∠BFE，所以：EAF与EBF是有两个角和一条边相等的三角形，EF为公共边，即相等角的对边。所以：它们的余边也就相等（命题I.26）。所以：AF等于FB。

所以：如果一条过圆心的弦与另一条不过圆心的弦相交形成直角，那么它也必然是平分线。

证完

注解

比较这一命题与命题III.1的推论。

这一命题应用在下一命题中，也用在命题XII.16及其他命题中。