命题III.7

连接直径上的非圆心的一点和圆上任一点所得的线段中，最长的是圆心所在的线段，且在其余线段中，靠近圆心的线段较远离的长；这一点到圆上有两条线段相等，它们各在最短线段的一边，同一直径上余下的一段最短。

设：圆ABCD，AD为直径，F为直径上的非圆心的一个点，E为圆心，从F点引线段FB、FC、FG。

求证：FA为最长，FD最短，FB大于FC，FC又大于FG。

连接BE、CE和GE。

因为：在任意三角形中两条边的和大于第三边。所以：EB与EF的和大于BF（命题I.20）。

又，AE等于EB，所以：AF大于BF。又因为BE等于CE，而FE是公共边，所以：BE与EF的和等于CE与EF的和。

又，∠BEF也大于∠CEF，所以：边BF也大于边CF（命题I.24）。同理：CF也大于GF。

又因为：GF与FE的和也大于EG，EG等于ED，GF与FE的和也大于ED（定义I.20）。

令，从每个中减去EF，于是：其余数GF也大于其余数FD。所以：FA最大，FD最小，FB大于FC，而FC大于FG。

进一步说：从F点到圆周的线段中只有两条相等，它们分别位于FD的两侧。

令：在直线EF的E点上作∠FEH，使之等于∠GEF，连接FH（命题I.23）。

那么因为：GE等于EH，而EF是公共边，GE、EF两边等于HE、EF两边。

又，∠GEF等于∠HEF，所以：边FG等于边FH（命题I.4）。

进一步说：另一条等于FG的直线不会从F点落到圆周上。

假如可能，假如这条线FK成立。那么，因为FK等于FG，又，FH等于FG，FK也等于FH，于是：靠近穿过圆心的线段等于离得较远的线段。这是不可能的。

所以：等于GF的另一条线段不会是从F点到圆周。

因此：只有一条线段成立。

所以：连接直径上的非圆心的一点和圆上任一点所得的线段中，最长的是圆心所在的线段，且在其余线段中，靠近圆心的线段较远离的长；这一点到圆上有两条线段相等，它们各在最短线段的一边，同一直径上余下的一段最短。

证完

注解

这一命题的陈述有些令人费解，涉及从圆内的一点F到圆周上的一点的距离。点F被假定不是圆心。如果直径AD过F，那么A点上的某一个点是在圆周上离F点最远，且另一点D为最近。由于一个点从A到D在圆周上旅行，它向F点靠近。这一陈述的最后部分是，如果G是圆周上的一点，那么，有另外一个点H是在圆周上，它与F的距离相等（当然G既不是A也不是D，这只是一种假定）。

注意：这一命题的陈述是含混的。短语“靠近过圆心的线段”到底是什么意思？它是指角吗？于是FB比FC更靠近FA，因为，∠BFA小于∠CFA。如果是这样，证明的过程就有细节的疏漏，∠BEF大于∠CEF，然而却没有证明。德·摩根曾插入多种证明方式来弥补过这一逻辑漏洞。

这一命题在《原本》中的其他地方再未被利用过。