命题III.9

如果自圆内一点作出的到圆上的线段有两条以上相等，那么该点即圆心。

设：D点在圆ABC内，从点D引出的到圆上的两条以上的相等线段为DA、DB和DC。

求证：D点即为圆ABC的圆心。

令：连接AB、BC，并在E、F点平分两条线，连接ED、FD，并延长至G、K、H和L（命题I.10）。

因为AE等于EB，而ED为公共边，那么：AE和ED就等于BE和ED。又，第三边DA等于第三边DB，所以，三角形AED全等于三角形BED（命题I.8）。

所以：∠AED与∠BED皆为直角。所以：GK平分AB为相等的两部分且为直角。

又，如果圆中的一条线切分另一条线为相等的两部分并构成直角，那么，圆心一定落在这条切割线上。

所以：圆心一定在GK线上（定义III.1）。同理，圆ABC的圆心是在HL上。

又因为线段GK和HL没有共同的点，只有D点，所以：点D即为圆ABC的圆心。

所以：如果自圆内一点作出的到圆上的线段有两条以上相等，那么该点即圆心。

证完

注解

这一命题的陈述，被命题III.7所覆盖。

这一命题应用在命题III.25中。