1.1　最优化问题的提出

优化的概念来源于求某一设计（广义的设计）的最优结果，用数学观点来说就是求解某一个或几个目标函数的最大值或最小值。针对设计建立数学模型，通过解析或数值计算寻找到求解优化设计的依据，用以指导设计的实施。如某设计的模型可用一元函数f（x）来表示，求最优设计就是求一元函数的最大值或最小值。如果一元函数是单调函数，则函数的最大值或最小值会在变量x的边界上取得；如果一元函数是二次函数，则函数的极值在函数曲线的顶点上取得；如果一元函数是高次函数，函数曲线有多个极值点，则求函数的最大或最小值问题就变得复杂起来，对多元函数的极值问题更是如此，需要用到后续章节介绍的局部或全局优化算法来求解。

线性规划问题是目标函数和限制条件都是线性函数的问题，在生产和生活中很多问题都可抽象为线性规划问题，下面以示例子说明优化设计问题的提出、建模及求解的全过程。

【例1-1】　资源分配问题是线性规划中的一类问题。这里所说的资源其含义广泛，可以是一般的物质资源，也可以是人力资源。资源分配问题可描述为生产若干种产品（广义的产品）需要几种不同的资源，如原料消耗量、设备使用量、人力需求量等。各种资源供应量有一定限制，所生产的产品有不同的利润或花费不同的费用。所求问题是在所消耗资源和资源供给量限制的条件下，求生产不同的产品的数量，使收益最大或费用最低。如下面的问题。

某工厂要生产两种规格的电冰箱，分别用Ⅰ和Ⅱ表示。生产电冰箱需要两种原材料A和B，另外需设备C。生产两种电冰箱所需原材料、设备台时、资源供给量及两种产品可获得的利润如表1-1所示。问工厂应分别生产Ⅰ、Ⅱ型电冰箱多台，才能使工厂获利最多？

解：设生产Ⅰ、Ⅱ两种产品的数量分别为x1，x2。则可获得的最大收益为

max f（x）=220x1+250x2，x∈R2

s.t.x1+x2≤1200

2x1+x2≤1800

x1≤800

x2≤1000

x1，x2≥0

Matlab求解程序如下：

%li_1_1

clc；

close all；

f=-[220 250]；

A=[1 1；2 1；1 0；0 1]；

b=[1200；1800；800；1000]；

xl=[0 0]；

[x，fval]=linprog（f，A，b，[]，[]，xl）

x1=[0：1800]；

x2=[0：2000]；

[xm1，xm2]=meshgrid（x1，x2）；

x21=1200-x1；

x22=1800-2*x1；

x23=（-fval-220*x1）/250；

plot（x1，x21，x1，x22，[0：1：1000]，1000，800，[0：1：1500]，x1，x23，'r'）

axis（[0，1400，0，2000]）

xlabel（'x1'）；

ylabel（'x2'）；

hold on

z=200*xm1+250*xm2；

[C，h]=contour（xm1，xm2，z）；

text_handle=clabel（C，h）；

set（text_handle，'BackgroundColor'，[11.6]，'Edgecolor'，[.7.7.7]）；

hold off

计算结果为：

目标函数等值线和约束函数曲线如图1-1所示。

通过例子我们初步了解了优化设计求解的过程，以及优化设计的“威力”。

在【例1-1】的求解中使用了标准化的优化数学模型，而优化问题数学模型的一般描述为

min（max）f（x）=f（x1，x2，…，xn），x∈Rn

s.t.gu（x）≤（≥）0，（u=1，2，…，L）

hv（x）=0，（v=1，2，…，M）　　（1-1）

其中，Rn表示n维实欧氏空间；s.t.是subject to或so that的缩写，意为“受限于”或“满足于”。需要说明的是，Matlab中求线性规划问题的函数linprog（）将约束条件统一为小于或等于类型的约束条件。