1.2 计算机中数据的表示

1.2.1 不同进位计数制及其相互转换

1.二进制数

进位计数制是一种计数方法，我们最熟悉的是十进制数，如423.5可表示为：

423.5=4×102+2×101+3×100+5×10-1

注意到这里每位数字只能取0到9共10个数字符号，因此基数为10，逢10进1。不同位置上的数字代表的“权”是不同的，如百位4，该位的权值为102，第k位的权值为10k。

计算机为便于数字电路对数据存储及计算的物理实现，采用二进制数。二进制数只有0和1两个数码，基数为2，逢2进1。不同位置上的数码代表的“权”不同，即各位权值为2k。例如二进制数：101101（B）=1×25+1×23+1×22+1×20=45（D）。

可以看出，上面的二进制数按权展开就得到对应的十进制数。为便于明确计数制而不致误解，通常在二进制数后面加（B），在十进制数后面加（D）（也可用下标2和下标10），即：

101101（B）=45（D），也可表示为101101B=45D，或（101101）2=（45）10

n位二进制数可以表示2n个数，例如4位二进制数可以表示24=16个数，如表1-1所示。

2.十六进制数

用二进制数表示一个较大的数总是不太方便，为便于程序员表示数据，通常还采用十六进制。

十六进制数有16个数码，基数为16，逢16进1。第k位置上的数码代表的权值为16k。每位的数码作如下规定：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F，共16个数码。其中A,B,C,D,E,F分别表示十进制的10,11,12,13,14,15。十六进制数后面要加上H以示区别。

例如十六进制数：

5FH=5×161+15×160=80+15=95D

显然十六进制表示比二进制表示来得简洁，该数用二进制表示则为：

5FH=01011111B

注意到一位十六进制数用四位二进制数表示即可，反之亦然。可见二进制数与十六进制数有着简单直接的互相转换关系，这是因为十六进制数的基数是2的幂。不仅如此，二进制数与2k进制数都可以简单直接地互相转换。

实际生活中存在多种计数制，如计时采用时分秒就是60进制。其道理都是一样的。

3.二进制数、十六进制数转换为十进制数

如前所述，各位二进制数乘以对应的权之和即得到十进制数。如：

例1.1N=101101.1B=1×25+1×23+1×22+1×20+1×2-1=45.5D

各位十六进制数乘以对应的权之和即得到十进制数。如：

例1.2N=5FH=5×161+15×160=80+15=95D

4.十进制数转换为二进制数

这里介绍常用的两种方法。

（1）降幂法（适用于数值不大的数），降幂法就是先写出小于此数的各位二进制权值，然后再求和。

例1.3求N=13.5D的二进制数。小于此数的各位二进制权值为：

8　　4　　2　　1　 0.5

显然应选8，再选4，而不能选2（因为8+4+2=14），再选1，最后选0.5，所以：

13.5D=8+4+1+0.5=1101.1B

（2）除法（又叫除2取余法，仅适用于整数部分），除2取余法就是不断除以2，记下余数，直到商为0为止。

例1.4求N=13D的二进制数。

13D=b3b2b1b0=1101B

特别注意，对于二进制数的小数部分除了用降幂法也可采用乘法，即不断乘以2，并记下整数，而小数部分再乘以2，直到结果的小数部分为0为止。注意：并非所有的十进制小数都能用二进制完全表示，如小数0.3，这时按实际需要取一定精度表示即可。

例1.5求N=0.625D的二进制数。

5.十进制数转换为十六进制数

和十进制数转换为二进制数类似，也有降幂法和除法。

（1）降幂法（适用于数值不大的数），降幂法就是先写出小于此数的各位十六进制数权值，然后再求和。

例1.6求N=95D的十六进制数。小于此数的各位十六进制权值为：

16　　 1

显然应选16×5，再选1×F，所以

N=95D=80+15=16×5+1×F=5FH

（2）除法（又叫除16取余法，仅适用于整数部分），除16取余法就是不断除以16，记下余数，直到商为0为止。

例1.7求N=95D的十六进制数。

同样特别注意，对于十进制数的小数部分除了用降幂法也可采用乘法，即不断乘以16，并记下整数，而小数部分再乘以16，直到结果的小数部分为0为止。不再举例。

6.二进制数和十六进制数的相互转换

由于十六进制数的基数16=24，故一位十六进制数由四位二进制数组成，相互转换极为简单。

例1.8N=1011111.11（B）=01011111.1100（B）=5F.C（H）

注意到从二进制数转换到十六进制数时，二进制数的整数部分从最低位开始每4位一组，不足4位的，高位补0补足4位。小数部分从最高位开始每4位一组，不足4位的，低位补0补足4位。

1.2.2 二进制数和十六进制数的运算

1.二进制数的运算规则

加法规则：0+0=0,0+1=1,1+1=0（进位1）

乘法规则：0×0=0,0×1=0,1×1=1

2.十六进制数的运算

十六进制数的加减运算只要遵循逢16进1规则即可，当然也可先把十六进制数转换为二进制数，运算后的结果再转换为十六进制数。

例1.9

例1.10

十六进制数的乘、除法运算可以先把十六进制数转换为十进制数，运算后的结果再转换为十六进制数。十六进制数的乘法也可以用十进制数的乘法规则计算，但结果用十六进制数表示。

例1.11

1.2.3 带符号数的补码表示

数分为正数和负数，计算机中的数是用二进制来表示的，数的符号也用二进制来表示，所谓带符号数就是最高位是符号位，一般规定正数的符号位为0，负数的符号位为1。把一个数连同其符号在内数值化表示叫机器数，机器数的表示可以用不同的码制，常用的有原码、补码、反码。这里只介绍最常用的补码。

补码表示法中的正数用符号位+绝对值表示，即数的最高位为0，其余部分为该数的绝对值。例如，用8位二进制来表示，

[+1]补=00000001,[+127]补=01111111,[+0]补=00000000。

负数用补码表示时，方法是对其正数各位取反，然后最低位加1。我们把这种对二进制数取反加1的运算叫作求补运算。负数用补码表示时，其符号位必定为1。

例1.12用8位二进制来表示，求[-3]补。

先写出+3:　　0000 0011

各位取反为：1111 1100

最低位加1为：1111 1101

[-3]补=1111 1101，或用十六进制表示，[-3]补=FDH。

读者也许会问，如何用16位二进制来表示[-3]补呢？其实只要在刚求出的[-3]补的前面加上8个1就可以了，即[-3]补=1111 1111 1111 1101，或[-3]补=FFFDH。这叫符号扩展。对负数的符号扩展只需在前面补1，对正数的符号扩展只需在前面补0，符号扩展并没有改变数的大小，只是改变了位数。读者可自行验证。

我们已经知道对负数用补码表示时，方法是对其正数取反加1，即作求补运算。其实这个方法是根据补码定义得出的。下面给出证明。

补码定义：

（X≥0时）　[X]补=符号+|X|　　　---（1）

（X＜0时）　[X]补=2n-|X|　　　　---（2）

现在我们把（2）式进一步改写，

[X]补=2n-|X|=（2n-1-|X|）+1　　　---（3）

请注意（3）式右边括号中的（2 n-1-|X|），就是对|X|取反码。再+1就得到[X]补。由此可见，求负数的补码，方法是对其正数取反加1。

现在我们把（3）式进一步改写，

|X|=2n-[X]补=（2n-1-[X]补）+1　　　　　---（4）

注意到上式右边的（2 n-1-[X]补）+1，就是对[X]补再求补码，就得到|X|。由（3）式和（4）式说明了以下结论：

例1.13依据补码定义写出以下各数的补码，以8位二进制表示。

[-1]补=28-1=1 0000 0000-1=1111 1111，直接由（2）式得到。

[-127]补=28-127=（28-1-127）+1

=（1111 1111-0111 1111）+1

=1000 0000+1

=1000 0001

依据补码定义求一个数的补码表示，有些繁琐，用取反加1的规则更为简便。

例1.14识别以下各数的十进制值。

[a]补=1111 1111，求补后为0000 0001=[1]补，所以，a=-1

[b]补=1000 0000，求补后为1000 0000=[128]补，所以，b=-128

[c]补=1000 0001，求补后为0111 1111=[127]补，所以，c=-127

前面我们都是以8位二进制数讨论，8位二进制数可以表示28=256个数，当它们是补码表示的数时，所能表示的数值的范围是-128≤N≤+127。

1.2.4 补码的加法和减法

计算机中主要是用补码表示数据，因此我们应关注补码的加法和减法。

补码的加法规则是：

[X+Y]补=[X]补+[Y]补　　　　　　　----（5）

[X-Y]补=[X]补+[-Y]补　　　　　　　----（6）

补码的减法规则是：

这个规则说明了用2个数的补码相加就可以完成2个数的加减法，得到的还是补码。

下面给出证明：

需明确X>0,Y>0，先看（5）式，由补码定义可知，[X+Y]补=X+Y=[X]补+[Y]补

（5）式得证。再看（6）式：

如果[X-Y]≥0，由补码定义可知，（6）式左边应有[X-Y]补=X-Y，

而（6）式右边=X+（2n-Y）=X-Y+2n=X-Y

如果[X-Y]<0,（或者说Y>X），

应有[X-Y]补=2n-|X-Y|=2n-（Y-X）=2n-Y+X=[-Y]补+[X]补

（6）式得证。

下面给出例子说明补码的加法运算。

例1.158位补码的加法运算。

从例中可以看出补码的加法很简便，不必考虑数的正负，符号位参与运算即可，计算结果都是正确的。从最高有效位向高位的进位由于机器字长的限制而自动丢弃，但结果依然正确。同时这个进位被保存到机器中的标志寄存器中，其作用以后再说明。

1.2.5 无符号数的表示

如果要处理的数全是正数，保留符号位就没有必要，我们可以把最高有效位也作为数值，这样的数就叫无符号数。用8位二进制来表示的无符号数的数值范围是0≤N≤255，用16位二进制来表示的无符号数的数值范围是0≤N≤65535。在计算机中最常见的无符号数是表示内存单元的地址。例如：1100 0010B=C2H=194D，而不再表示一个负数。

1.2.6 字符的表示

除了数值以外，人们有时还需要用计算机处理字符或字符串。例如，从键盘输入或打印输出信息都是以字符方式输入/输出的。字符包括：

字母：A,B,C,D……

数字：0,1,2,3……

专门符号：+,-,×,/,SP（space空格）……

非打印字符：CR（carriage return回车）,LF（line feed换行）……

这些字符必须采用二进制的编码方式，目前采用最常用的美国信息交换标准代码 ASCII（American Standard Code for Information Interchange）来表示。

这种代码用一个字节（8位二进制码）来表示一个字符，其中低7位为字符的ASCII值，故能表示128个符号和代码，最高位一般用作检测校验位，见表1-2。

为了能表示更多的符号，将7位ASCII码扩充到8位，就可以表示256个符号和代码，称为扩充的ASCII码。

1.2.7 基本逻辑运算

四种基本逻辑运算见表1-3。

（1）“与”运算（AND），又叫逻辑乘，可用符号·或∧来表示，只有当逻辑变量A、B都为1时，“与”运算的结果才为1。

（2）“或”运算（OR），又叫逻辑加，可用符号+或∨来表示，只要变量A、B其中有一个为1时，“或”运算的结果就为1。

（3）“异或”运算（XOR），可用符号∀来表示，只有当变量A、B中仅一个为1时，“异或”运算的结果才为1。

（4）“非”运算（NOT），对变量A取反，即如果A=1，则=0，反之亦然。

逻辑运算都是按位操作，例如，X=0011,Y=1011，均为二进制数，则有：

X（AND）Y=0011,X（OR）Y=1011,X（XOR）Y=1000,（NOT）X=1100