1.3　光的传播特性

1.3.1　光的反射、折射和全反射——光纤波导传输光的基础

光在同一种物质中传播时，是直线传播的。但是光从折射率较大的介质入射到折射率较小的介质时，在一定的入射角度范围内，光在两种介质的边界会发生反射（Reflection）和折射（Refraction），如图1.3.1所示。入射光与法平面的夹角θi称为入射角，反射光与法平面的夹角θr称为反射角，折射光与法平面的夹角θt称为折射角。

在图1.3.1中，一个平面波从折射率为n1的介质1传输到折射率为n2的介质2，并且n1>n2，就像光从纤芯辐射到包层一样，ki、kr和kt分别表示入射光、反射光和折射光的波矢量，但因入射光和反射光均在同一个介质内，所以入射光和反射光的波矢数值相等ki=kr，θi、θr和θt分别表示入射光、反射光和折射光与两介质边界面法线的角度。

入射光在界面反射时，只有θr=θi的反射光因相长干涉而存在，因为入射光Ai和Bi同相，所以反射光Ar和Br也必须同相，否则它们会相消干涉而相互抵消，所有其他角度的反射光都不同相而相消干涉。

折射光At和Bt在介质2中传输，因为n1>n2，所以光在介质2中的速度要比在介质1中的速度大。当波前AB从介质1传输到介质2时，我们知道，在同一波前上的两个点总是同相位的，入射光Bi上的相位点B经过一段时间到达B′，与此同时，入射光Ai上的相位点A到达A′。于是在波前上的A′点和B′点仍然具有相同的相位，否则就不会有折射光。只有折射光At和Bt以一个特别的折射角θt折射时，在波前上的A′点和B′点才同相。

如果经过时间t，相位点B以相速度υ1传输到B′，此时BB′=υ1t=ct/n1。同时，相位点A以相速度υ2传输到A′，AA′=υ2t=ct/n2。波前AB与介质1中的波矢量ki垂直，波前A′B′与介质2中的波矢量kt垂直。根据几何光学，我们可以得到（见图1.3.1左上角的小图）

这就是斯涅尔（Snell）定律，它表示入射角和折射角与介质折射率的关系。

现在考虑反射光，波前AB变成A″B′，经过时间t，B移动到B′，A移动到A″。因为它们必须同相位，以便构成反射光，BB′必须等于AA″。因为BB′=AA″=υ1t，从三角形ABB′和A″AB′我们可以得到

因此θr=θi，即入射角等于反射角。光从折射率较大的介质以不同的入射角进入折射率较小的介质时出现3种不同的情况如图1.3.2所示。当n1>n2时，折射角要比入射角大，当折射角θt达到90°时，折射光沿两介质交界面向前传播，如图1.3.2（b）所示，此时的入射角称为临界角（Critical Angle）θc，由式（1.3.1）可知

当入射角θi超过临界角θc（θi>θc）时，没有折射光，只有反射光，这种现象称为全反射（Total Internal Reflection，TIR），如图1.3.2（c）所示，这就是光纤波导传输光的原理。

对于θi>θc，sinθt>1，θt是一个虚构的折射角，所以沿着边界传输的光称为消逝波。

1.3.2　抗反射膜、电介质镜和光子晶体

1. 抗反射膜

当光入射到光电器件的表面时，总会有一些光被反射回来，这样除增加耦合损耗外，还会对系统产生不利的影响，为此，要在器件表面镀一层电介质材料，以便减少反射光。镀抗反射膜以减少反射光如图1.3.3所示。在图1.3.3中，空气折射率n1=1；器件材料是硅，其折射率n3=3.5；电介质材料选用Si3N4，其折射率n2≈1.9，其值在空气折射率和硅器件折射率之间。当入射光到达空气和抗反射膜界面时，标记为A的一些光被反射回来，因为A光是外反射的，所以反射光与入射光相比有180°的相位变化。没有被反射的光在电介质材料中传播，当到达抗反射膜和器件界面时，除大部分光进入器件外，一些光又被反射回来，标记为B。因为n3>n2，B光还是外反射的，B光仍有180°的相位变化，而且当它从抗反射膜出来时，已经受了2d距离的传输延迟，d为抗反射膜的厚度。根据式（1.2.8），反射光A和B间的相位差为kc（2d），其中kc是电介质材料的传输常数，且kc=2π/λc，λc是光在电介质材料抗反射膜中的波长。因为λc=λ/n2，λ是自由空间波长，反射光A和B间的相位差是

为了减少反射光，A光和B光必须相消干涉，这就要求两者的相位差必须为π或π的奇数倍，即

于是要求抗反射膜的厚度必须是1/4抗反射膜介质波长的奇数倍。

为了使反射光A和B的相消干涉效果更好，两者的幅度必须尽量相等，这就要求，此时空气和抗反射膜介质间的反射系数与抗反射膜介质和器件间的反射系数相等。在此，，所以为了减少反射光，Si3N4是抗反射膜的最好材料。如果光波长是1 500nm，则d=λ/4n2=1 500/（4×1.9）nm≈197.4nm，或者是197.4nm的奇数倍。

2. 电介质镜

多层电介质镜的工作原理如图1.3.4所示。电介质镜（Dielectric Mirror）是由数层折射率交替变化的电介质材料组成的，并且n1<n2，每层的厚度为λD/4，λD是光在电介质层传输的波长，且λD=λo/n，λo是光在自由空间的波长，n是光在该层传输的介质折射率。界面上的反射光相长干涉，使反射光增加，如果层数足够多，波长为λo的反射系数接近1。

介质1中传输的光在介质1和2的界面1-2反射，其反射系数R12=（n2-n1）/（n1+n2），其值是正数，这表明传输的光没有发生相位变化。介质2中传输的光在介质2和1的界面2-1反射，其反射系数R21=（n1-n2）/（n2+n1），其值是负数，这表明传输的光相位变化了π。于是，电介质镜的反射系数的符号交替变化。由于两个随机的A光和B光在两个前后相挨界面上的反射是在不同界面上的反射，所以它们的相位差为π。反射光B进入介质1时已经历了两个（λD/4）距离，即λD/2，相位差又是π。此时反射光A和B的相位差已是2π。于是反射光A和B是同相的，从而产生相长干涉。与此类似，我们也可以推导出B光和C光产生相长干涉。因此，所有从前后相挨的两个界面上的反射光都具有相长干涉的特性，经过几层这样的反射后，折射光强将很小，且反射系数将达到1。

电介质镜原理已广泛应用到垂直腔表面发射激光器中。

3. 光子晶体

可以认为，折射率周期性变化的电介质镜是一种一维的光子晶体（Photonic Crystal），如果折射率以二维或三维的方式变化，则可以构成二维或三维的光子晶体。光子晶体如图1.3.5所示。一维光子晶体有一个频（波）带，它在该带宽内反射光，如图1.3.5（a）所示；反过来说，有一个截止带宽，光在该带宽内不能通过电介质镜。在折射率指数周期性变化的z方向，不允许一定频率范围的光通过，这个频带就称为光（或光子）带隙（Photonic Band Gap）。光子晶体这种波长选择的功能，使人们操纵和控制光子的梦想成为可能。

光子晶体应用很广，它可以用于制作控制光子流动的高性能反射镜、在拐角处能量损失很小的直角光子晶体波导、分开波长很接近的光的波分复用棱镜，以及无损耗、大模场直径、色散可设计的单模光子晶体光纤（见2.1.5节）等。

1.3.3　光的谐振——激光器和滤波器基础

干涉就是两列波或多列波叠加时，因为相位关系幅度有时相互加强、有时相互削弱的一种波的基本现象。例如，在水池中相隔不远的两处，同时分别投进一块石头，就会产生同样的水波，都向四周传播，仔细观察两列水波会合处，即可发现其幅度时而因相长干涉增大，时而因相消干涉减小的现象。

收音机选择电台就是利用电波的谐振现象。与电波的谐振一样，光也有谐振，在谐振时也可以在一定的频率（波长）范围内存储能量和滤光。

1. 法布里-珀罗（Fabry-Perot，F-P）谐振腔

法布里-珀罗（F-P）谐振腔及其特性如图1.3.6所示。基本的谐振腔由置于自由空间的两块平行的平面镜M1和M2组成，如图1.3.6（a）所示。光波在M1和M2间反射，导致这些波在谐振腔内相长干涉和相消干涉。从M1反射的A光向右传输，先后被M2和M1反射，并向右传输变成B光，根据式（1.2.8），它与A光的相位差ΔФ是k（2L），k为传输常数，如果

则B光和A光发生相长干涉，其结果是在谐振腔内产生了一列稳定不变的电磁波，我们把它称为驻波（Stationary Waves）。考虑到k=2π/λ，由式（1.3.5a）可以得到

式（1.3.5b）的物理意义也可以这样理解，因为平面镜镜面上（假如镀金属膜）的电场必须为零，所以谐振腔的长度是半波长的整数倍。

夹住一根长度为L的弦线两端，用手指挑动弦线中间，弦线的波扰动就会形成驻波，其波长也满足式（1.3.5b）[2]。

由式（1.3.5b）可知，不是任意一个波长都能在谐振腔内形成驻波的，对于给定的m，只有满足式（1.3.5b）的波长才能形成驻波，并记为λm，称为腔模式，如图1.3.6（b）所示。因为光子频率和波长的关系是ν=c/λ，所以对应这些模式的频率νm是谐振腔的谐振频率，即

式中，νf是对应基模（m=1）的频率，在所有模式中它的频率最低。两个相邻模式的频率间隔是νm=νm+1-νm=νf，称为自由光谱范围（Free Spectrol Range，FSR）。图1.3.6（c）说明了谐振腔内允许形成驻波的光强与频率的关系。假如谐振腔内没有光的损耗，即两个平面镜对光全反射，那么式（1.3.6）定义的频率νm的峰值波形将很尖锐。如果平面镜对光不是全反射的，一些光将从谐振腔辐射出去，νm的峰值波形就不尖锐，而且具有一定的宽度。显然，这种简单的镀有平面镜的光学谐振腔只有在特定的频率内能够储存能量，这种谐振腔就称为法布里-珀罗（F-P）谐振器。

考虑一个任意的光A在某个时刻a向右传输，如图1.3.6（a）所示，当它传输了一个来回儿后到达b，此时变成光B，准备继续向右传输，但是它与A相比，不但相位不同，而且由于平面镜对光不是完全反射的，幅度也不等。假如平面镜M1和M2具有相同的反射系数，此时光B传输一个来回儿后与光A的相位差是k（2L），幅度是r2（因两次反射）。当A和B干涉时，其结果为

A+B=A+Ar2exp（-j2kL）

当然，就像A一样，B也继续向右传输，经历两次反射后完成了一个来回儿，继续开始向右传输，但是已有第三个干涉波出现。这样一直传输下去，就产生了无数个干涉波，其电场强度为

Ev=A+B+…=A+Ar2exp（-j2kL）+Ar4exp（-j4kL）+Ar6exp（-j6kL）+…

该几何级数可表示为

只要知道谐振腔内的电场强度，我们就可以计算谐振腔内光强Iv=|Ev|2，并用反射系数R=r2对其进一步简化，最后的结果是

式中，Io=A2是光的初始强度。只要式（1.3.7）中的sin2（kL）等于零，即kL=（2π/λ）L=mπ，m为整数，谐振腔内光强就最大。谐振腔内光强和频率的关系如图1.3.6（c）所示，其峰值位于k=km，km满足kmL=mπ，因k=2π/λ，所以由kmL=mπ可以直接得出式（1.3.5）和式（1.3.6）。k=km时，谐振腔内光的最大强度为

反射系数R越小意味着谐振腔内光的损耗越大，从而影响到谐振腔内电场强度的分布。由式（1.3.7）可知，R越小，光强峰值展宽越大，而且电场强度最大值和最小值的差也越小，如图1.3.6（c）所示，该图也定义了法布里-珀罗谐振腔的频谱宽度δνm，它是单个腔模式特性曲线半最大值全宽（Full Width at Half Maximum，FWHM），当R>0.6时，它可用下面的简单表达式计算为

式中，F称为谐振腔的精细度，它随着谐振腔内光的损耗的减小而增加（因R增加）。

2. 法布里-珀罗谐振腔干涉滤波器

法布里-珀罗谐振腔由两个相互平行的平面镜组成，如图1.3.7（a）所示，已广泛应用于激光器、干涉滤波器和分光镜中。当一束光射进长度为L的法布里-珀罗谐振腔时，由式（1.3.5）可知，只有特定的光才能在谐振腔内建立起振荡，其他波长的光因产生相消干涉而不能存在。于是，假如入射光中有一个波长的光与谐振腔中的一个腔模对应，它就可以在谐振腔内维持振荡，并有一部分光从右边平面镜透射出去，变成输出光，并由式（1.3.7）决定。商用干涉滤波器就是基于这种原理的，只是两个腔体由一组前面介绍的平面镜（电介质镜）串联组成，其结构更复杂。法布里-珀罗谐振腔特性如图1.3.7（b）所示。我们可以调节L来扫描不同的波长，从而实现滤波器的调谐。

式（1.3.7）也可以用来计算透射光的强度，只要考虑每次光在右边平面镜反射时，只有一部分光被透（折）射出去，并且只有当kL=mπ时，因相长干涉才能构成透射光。假如Ii是入射光的强度，它的（1-R）部分进入谐振腔，在腔内产生强度为Iv的光，它的（1-R）Iv离开谐振腔透射出去，于是透射光的强度是

就像Iv一样，只要kmL=mπ，透射光就可以达到最大的强度，如图1.3.7所示。

以上的谐振腔内包含的是空气，如果其内包含的是其他介质，则用nk代替k，式（1.3.8）也可以使用。另外，如果不是以法线方向入射，而是有一个入射角θ，只要用kcosθ代替k即可。

【例1.3.1】模式波长、模式间隔和模式频谱宽度

考虑一个空气间隙长度为100μm的法布里-珀罗谐振腔，镜面反射系数为0.9，请计算靠近900nm波长的模式波长、模式间隔和每个模式频谱宽度。

解：从式（1.3.5）可以得到

因此，有

模式间隔为

精细度为

每个模式频谱宽度为

模式频谱宽度δνm对应频谱波长宽度δλm，模式波长λm=900.90nm对应模式频率νm=c/λm≈3.328×1014Hz。既然λm=c/νm，我们就可以对此式进行微分，以便找出波长的微小变化与频率的关系，即

1.3.4　光的干涉和衍射——激光器和滤波器基础

1. 光的干涉

一个传播的电磁波可以用纯正弦波描述为

式中，ωo=2πνo是角频率；ko是波数或传播常数。相干光、非相干光及其频谱如图1.3.8所示。我们假定该电磁波可无限扩展到所有的空间，并在所有的时间均存在，这样的纯正弦波是完全相干的，因为波上的所有点是可以预见的。完全相干（Perfect Coherence）可以这样理解它的含义，我们从波上某一部分的相位可以预见该波上任一其他部分的相位。例如，在图1.3.8（a）中，在给定的空间位置，波形上被任一时间间隔分开的任意两点如P和Q总是相关的，因为我们可以从P点的相位预见到任一时间间隔Q点的相位，这就是时间相干（Temporal Coherence）。任意与时间相关的随机函数f（t）可用频率、幅度和相位各不相同的多个正弦波之和来表示，我们只要一个如式（1.3.11）描述的频率为νo=ωo/2π的纯正弦波来说明时间的相干性。

纯正弦波只是一种理想的正弦波，实际上它只在有限的时间间隔Δt内对应有限的空间长度L=cΔt内存在，如图1.3.8（b）所示，该Δt可能对应光源的发射过程，如“1”码时对应一个激光器输出的调制过程，实际上光波的幅度也并不总是恒定不变的。我们只对一列光波上在Δt期间内或空间距离L=cΔt内一些点的相关性感兴趣，如果这列波在Δt期间或L=cΔt距离内具有相关性，我们就说这列波具有相干时间Δt和相干长度L=cΔt。在图1.3.8（b）中，因为它并不是理想的正弦波，在它的频谱中包括许多频率分量，计算表明构成这列有限光波的最重要的频率成分是在中心频率νo附近Δν=1/Δt内的，Δν是频谱宽度，它与相干时间Δt有关，即

因此，相干时间或相干长度和频谱宽度有密切的关系。例如，发射波长为589nm的钨灯的频谱宽度Δν=5×1011Hz，这意味着它的相干时间Δt=2×10-12s或2ps，它的相干长度L=6×10-4m或0.60mm。多模He-Ne激光器的频谱宽度为1.5×109Hz，对应的相干长度是200mm。由于单模连续波激光器具有很窄的线宽，它的相干长度可达几百米，因此它被广泛用于光干涉及其相关的应用中。

图1.3.8（c）表示白光是一种非相干光，它的频谱包括很宽的频率范围，它是理想的非相干光，实际上的光均在图1.3.8（a）和图1.3.8（c）所示的频率范围内。

相干光和非相干光如图1.3.9所示。两列波的相干性表示这两个波的相关程度，图1.3.9（a）中的光A和光B具有相同的频率，但是它们只在时间间隔Δt内一致，因此它们只在Δt内相干，这种现象称为它们在Δt期间内互相干。它只能在下面的情况下出现，即当相干长度均为L的在不同通道传输的完全相同的两列波到达目的地时，只有在空间距离为L=cΔt范围内干涉。

空间相干（Spatial Coherence）描述的是从一个光源不同位置发射的光波间的相干程度，如图1.3.9（b）所示。假如从光源上P和Q两点发射的光具有相同的相位，此时P和Q是空间相干源。尽管空间相干源在整个发射表面发射的光同相位，然而这些光在空间并不总能满足相干条件，可能只有在部分时间相干，因此这些波只在相干长度L=cΔt内同相位。

大部分非相干光束在其横截面上包含一些时间和相位都随机变化的光，如图1.3.9（c）所示。

相干时间和相干长度的概念将应用到模式噪声中（见10.4.5节）。

2. 光的衍射

光的衍射是指直线传播的光实际上绕射到障碍物背后去的一种现象。这是波的一种共性。例如，用防洪堤围成一个入口很窄的渔港，港外的水波会从入口处绕到堤内来传播，这种现象就是一种衍射现象。

1）夫琅禾费衍射和菲涅耳衍射

波的一个重要特性是它的衍射效应，例如，声波在传播过程中可以弯曲和偏转。光也有类似的特性，例如，一束光在遇到障碍物时弯曲传播，尽管这种弯曲很小。光的夫琅禾费衍射如图1.3.10所示。图1.3.10（a）表示准直光通过孔径为a的小孔时产生光的偏转，产生明暗相间的光强花纹，称为艾里环/盘（Airy Rings/Disk），这种现象称为光的衍射，光强的分布图案称为衍射光斑。显然，衍射光束的光斑与光通过小孔时产生的几何阴影并不相符。衍射现象通常分为两类：夫琅禾费（Fraunhofer）衍射和菲涅耳（Fresnel）衍射。在夫琅禾费衍射中，入射光是平面波（准直光），观察或探测衍射光斑在远离孔径处进行，因此接收波也是一个平面波。在菲涅耳衍射中，入射光和接收光不是平面波，通常光源和观察屏幕都靠近孔径，波前有显著的弯曲。

衍射可以理解为从小孔发射出的多个光波的干涉。当一个平面波入射到宽度为a的裂缝中时，根据惠更斯-菲涅耳（Huygens-Fresnel）原理，每个波前上没有被遮挡的点，在给定的间隔都可以作为球面二次波光源，其频率与首次波的相同，在远处任意一点光场的幅度是所有这些波叠加的幅度。光的菲涅耳衍射如图1.3.11所示。当平面波到达裂缝时，裂缝上的点就变成相干的球面二次波光源，这些球面波干涉构成新的波前，它是这些二次球面波波前的包络。这些球面波可以发生相长干涉，这些相长干涉不仅可以发生在正前方向，如图1.3.11（a）所示，也可以发生在其他适当的方向，如图1.3.11（b）所示，我们可以在观察屏幕上看见明亮相间的花纹。衍射实际上就是干涉，它们之间并没有什么区别。

我们可以把裂缝宽度a划分成N个相干的光源，每个光源长度δy=a/N，如果N足够大，就可以把该光源看成点光源，如图1.3.10所示。由于点光源被平面波均匀照亮，因此每个点光源的强度（幅度）将与δy=a/N成正比，每个点光源均是一个球面波。在正前方向（θ=0），这些球面波均同相位，因此构成一个沿z方向的干涉波，但是与z方向成一定角度θ的球面波也同相位，因此衍射波也出现在该方向。在观察屏幕上，任一点接收到的光强是从裂缝上所有点光源发出光强之和。因为该屏幕远离点光源，所以，到达屏幕的光几乎是平行光，也可以用一个透镜聚焦这些衍射的平行光线，以便构成衍射光斑。

对于裂缝上的任意两个点光源A和y，A光从坐标0处发射，y光从坐标y处发射，均以同一个发射角发射，如图1.3.10（b）所示，假如k是波矢量，其传输常数k=2π/λ，根据式（1.2.8），点光源y与A的相位差是kysinθ，于是，点光源y发射的光具有的电场δE为

从y=0到y=a上的所有点光源发射的光在屏幕上发生干涉，在屏幕上的场强是这些光的场强之和。因为屏幕离点光源很远，所以屏幕上一点到裂缝上任一点的距离相等，这就意味着从裂缝上发出的所有球面波经历同样的相位变化，到达屏幕时遭受同样的强度衰减，它们在屏幕上具有同样的光强。

2）衍射方程和衍射光栅

最简单的衍射光栅（Diffraction Grating）是在不透明材料上具有一排周期性分布的裂缝。衍射光栅如图1.3.12所示。入射光在一定的方向上发生衍射，该方向与波长和光栅特性有关。图1.3.12（b）表示光通过有限数量的裂缝后，接收到的衍射光的强度分布。由图1.3.12可见，沿一定的方向（θ）具有很强的衍射光，根据它们出现位置的不同，分别标记为零阶（中心）及其分布在其两侧的一阶和二阶等。假如光通过无限数量的裂缝，则衍射光具有相同的强度。事实上，任何折射率的周期性变化，都可以作为衍射光栅，有关这方面的内容将在3.4.1节介绍。

我们假定入射光是平行波，因此裂缝变成相干光源。并假定每个裂缝的宽度a比把裂缝分开的距离d更小，如图1.3.12（a）所示。从两个相邻裂缝以角度θ发射的光之间的路径差是dsinθ，由式（1.2.8）可知，Δz=dsinθ=（ΔФ/2π）λ=mλ，ΔФ为被Δz分开的两点间的相位差，令m=ΔФ/2π，所以，所有这些从一对裂缝发射的光发生相长干涉的条件是路径差一定为波长的整数倍，即

这就是著名的衍射方程，有时又称布拉格衍射条件，其中m决定衍射光的阶数，如m=0对应零阶衍射、m=±1对应一阶等。当a<d时，衍射光的幅度被单个裂缝的衍射幅度调制，如图1.3.12（b）所示。由式（1.3.14a）可见，衍射光栅可以把不同波长的入射光分开，它已被广泛应用到光谱分析仪中。

3种不同的衍射光栅如图1.3.13所示。衍射光栅可以分为传输光栅和反射光栅。如果入射光和衍射光位于衍射光栅的两侧，那么这个衍射光栅就是传输光栅，如图1.3.13（a）所示；如果入射光和衍射光位于衍射光栅的同侧，那么这个衍射光栅就是反射光栅，如图1.3.13（b）所示。衍射光栅是由周期性变化的反射表面构成的，这可通过在金属薄膜上刻蚀平行的凹槽得到。在图1.3.13（b）中，没有刻蚀表面的反射可作为同步的二次光源，它们发射的光沿一定的方向干涉就产生零阶、一阶和二阶等衍射光。

如果入射光不是法线入射到衍射光栅的，式（1.3.14a）要做一些修改。假如光以与衍射光栅法线成θi的入射角入射，此时m阶衍射光的衍射角θm为

在光谱分析仪应用的衍射光栅中，没有衍射的光对应于零阶光，如图1.3.13（b）所示，显然这是不希望有的，因为它浪费了一部分入射光的能量。如果把衍射光栅的反射表面制成如图1.3.13（c）所示的形状，那么只要选择适当的角γ，就可以只产生一阶衍射光。如果入射光是与衍射光栅平面垂直的准直平行光，则γ=sin-1（λ/2d）。目前的衍射光栅均采用这种结构。

1.3.5　光的偏振——偏振复用基础

光波和声波同样都是波，但它们具有不同的性质。声波是在行进方向上传播的反复强弱变化的疏密纵波；而光波却是在与传播方向垂直的平面内振动的横波。无偏振光和偏振光如图1.3.14所示。自然光在垂直于它行进方向（z轴）的平面内（由y轴和x轴构成的平面）的所有方向上都有振动，如图1.3.14（a）所示，我们把这种光称为非偏振光。但是，自然光在晶体中的振动方向要受到限制，它只允许在某一特定方向上振动的光通过，如图1.3.14（b）所示，我们把这种只在特定方向上振动的光称为偏振光（Polarizing Beam）。

光的偏振（又称极化）描述了当它通过晶体介质传输时其电场的特性。线性偏振光（Linearly Polarzed Wave）的电场振荡方向和传播方向总在一个平面内（振荡平面）。因此，线性偏振光是平面偏振波。线性偏振光如图1.3.15所示。与此相反，非偏振光是在每个垂直z轴传输的随机方向都具有电场E的光。通过一个偏振片，就可以使一束非偏振光变成线性偏振光，因为偏振片把电场振荡仅局限在与传输方向垂直的一个平面内，这个偏振片就称为起偏器（见3.11.2节）。

现在我们来描述电场E沿垂直于传输方向z的分量Ex和Ey，如图1.3.15（c）所示，为了找到该光波在任意空间和时间位置的电场，我们把Ex和Ey看成矢量。Ex和Ey可以分别用具有相同角频率ω和波数k的波动方程描述为

式中，Ф是Ex和Ey间的相位差。

图1.3.15（a）的线性偏振光具有与x轴成45°角的电场E，如图1.3.15（b）所示。在式（1.3.15）和式（1.3.16）中，选择Exo=Eyo，Ф=±π，即此时Ex和Ey具有相同幅度，但是有180°的相位差。如果是沿x方向和y方向的归一化矢量，在式（1.3.16）中使Ф=π，则电场为

或

其中

式（1.3.17）和式（1.3.18）表示与x方向成45°角的电场Eo沿z方向传输。

线性偏振光除具有电场外，还具有许多偏振特性。例如，场矢量E的幅度保持恒定不变，但是在z方向给定位置上电场幅度最大点随时间顺时针旋转的轨迹是一，个圆，此时的电磁波称为右圆偏振光。右圆偏振光传播距离Δz时的瞬间图像如图1.3.16所示。如果电磁波是反时针旋转的，该电磁波就称为左圆偏振光。由式（1.3.15）和式（1.3.16）可知，右圆偏振光的Exo=Eyo=A，Ф=π/2，此时

场矢量E总是垂直z轴的，并且围绕z轴顺时针随时旋转，在一个波长的传输距离内，其轨迹是一个圆。很显然，式（1.3.19a）和式（1.3.19b）表示一个圆，如图1.3.17（c）和（d）所示，即

此时场矢量E的旋转角θ=kΔz=（2π/λ）Δz。线性偏振光和圆偏振光的比较如图1.3.17所示。

当Exo和Eyo不等，场矢量E在z方向给定空间位置上随时间传播时，其幅度最大点的轨迹是一个椭圆，所以这种光称为椭圆偏振光或椭圆光，它也有右椭圆偏振光和左椭圆偏振光之分。椭圆偏振光如图1.3.18所示。椭圆偏振光可以由幅度不相等、相位差为任意不为零的Ф或整数π的Exo和Eyo构成；也可以由幅度相等、相位差是±π/4或±3π/4的Exo和Eyo构成。

当无偏振光入射到介质表面时，由于反射、折射或散射可以引起光的偏振，其偏振的程度与入射角和材料折射率n有关，并由布鲁斯特（Brewster）定律tanθp=n决定，这里θp是偏振角。

【例1.3.2】圆偏振光和椭圆偏振光

假如Ex=Acos（ωt-kz），Ey=Bcos（ωt-kz+Ф），A和B不等，Ф=π/2，请问该电磁波属于何种偏振光？

解：由Ex=Acos（ωt-kz）可得cos（ωt-kz）=Ex/A，由Ey=Bcos（ωt-kz+Ф）可得cos（ωt-kz+/2）=-sin（ωt-kz）=Ey/B，使用cos2（ωt-kz）+sin2（ωt-kz）=1，则

Ex和Ey分别表示电场沿x和y轴的瞬时值。当A=B时，该电磁波是圆偏振光；当A≠B时，E该电磁波是椭圆偏振光。当z=0，ωt=0时，E=Ex=A；当ωt=π/2时，E=Ey=-B。由此可见，该波是右圆偏振光。

1.3.6　光在各向异性晶体中的传输——双折射器件及LiNbO3调制器基础

1. 各向同性材料和各向异性材料

晶体的一个重要特征是它的许多特性与晶体的方向有关。介电质常数εr与电子极化有关，电子极化又与晶体方向有关。从式（1.2.13）可知，折射率，所以，晶体折射率在光传输过程中与电场的方向有关。大部分非晶体材料，如玻璃、液体和所有的立方晶体是光学各向同性的，即在每个方向具有相同的折射率。除立方晶体外，所有其他晶体的折射率都与光传输方向和偏振态有关，这种材料称为各向异性材料。各向同性晶体和各向异性晶体如图1.3.19所示。当光进入各向异性晶体时，透射光线不只一条，而是两条，这种现象称为双折射，如图1.3.19（a）所示。

可用3种折射率指数n1、n2和n3来描述光在各向异性晶体内的传输，n1、n2和n3分别对应互相垂直的3个轴x、y和z，它们对应光沿这些轴的偏振态。这种晶体具有两个光学轴，如云母（Mica，n1=1.560 1，n2=1.593 6，n3=1.5977），所以又称双轴晶体。当n1=n2时，晶体只有一个光轴，这种晶体称为单轴晶体。在单轴晶体中，n3>n1的晶体（如石英）称为正单轴晶体，n3<n1的晶体（如LiNbO3和方解石，no=2.286，ne=2.200）称为负单轴晶体。

2. 双折射及偏振分束器

任何非极化光线进入各向异性晶体（如方解石）后，将折射分成两束正交的线性偏振光，以不同的偏振态、不同的相速度经历不同的折射率传输，如图1.3.20所示，这种现象称为双折射，利用双折射可制成偏振分束器（Polarizing Beam Splitter，PBS）。

在单轴晶体中，两个正交的偏振光称为寻常光（ordinary，o）和非寻常光（extraordinary，e）。寻常光在所有的方向具有相同的相速度，它的表现就像普通的电磁波，电场垂直于相速度传输的方向。非寻常光的相速度与传输方向和它的偏振态有关，而且电场也不垂直于相速度传输的方向。

现在考虑方解石（CaCO3）的双折射。方解石是一种负单轴晶体，沿一定的平面把晶体切成菱形，晶面是平行四边形（相邻两角的角度是78.08°和101.92°），如图1.3.20（b）所示。当非偏振光或自然光以主截面法线方向射入方解石时，与光轴成一定的角度。入射光分成相互正交的寻常光和非寻常光，在主截面平面内也包含入射光。寻常光是垂直于光轴的偏振光，它遵守斯涅耳定律，即光进入晶体不偏转，于是寻常光的偏振方向必须与纸平面垂直（用黑点表示），用E⊥表示。

非寻常光是一种与寻常光正交的偏振光，并在包含光轴和波矢量k的主截面内。非寻常光的偏振就在纸平面内，用E∥表示，它的传输速度和发散与寻常光不同。很显然，非寻常光不遵守斯涅耳定律，因为折射角不为零。

3. 双折射的两种特例

假如用负单轴晶体，如LiNbO3或方解石，切割出一个晶片，如图1.3.21所示，光轴方向是z轴方向。如果一束与光轴平行的偏振入射光垂直入射进入晶片，如图1.3.21（a）所示，此时寻常光和非寻常光传输时经历的折射率相同（no=ne），光速也相同（c/no=c/ne），偏振入射光从晶片出去时就不会被分成两束光。

如果一束与光轴垂直的光线以法线方向入射进入晶片，如图1.3.21（b）所示，此时寻常光和非寻常光在晶体中传输时，虽然传输方向相同，但经历的折射率不同，对于负单轴晶体，ne<no，光速c/ne>c/no，非寻常光传输得比寻常光快，一前一后从晶片出去。这种现象被用于制作LiNbO3晶体光调制器和相位延迟片。对于正单轴晶体，如石英，ne>no，光速c/ne<c/no，则非寻常光传输得比寻常光慢。

1.3.7　非线性光学效应——FWM、SRS和SBS基础

当电场E施加到电介质材料时，将引起组成它的原子和分子极化。介质对电场的响应可用引起介质的极化P来描述，它表示单位体积引起的净偶极矩。在线性电介质中，引起的极化P与那点的电场E成正比，其关系是P=εoχE，其中χ是电磁化系数。但是在强电场作用下，P与E的关系将不遵守线性关系，此时，P与E的关系是

式中，χ1、χ2和χ3分别是线性、二阶和三阶电磁化系数。因为高阶电磁化系数对P的影响很小，所以这里就没有考虑高阶电磁化系数。非线性电磁化系数（χ2和χ3）对P的影响程度与电场强度E有关。当电场强度达到107V/m左右时，非线性电磁化系数对P的影响就不得不考虑，这样高的电场强度要求光强达到1 000kW·cm-2。强电场引起非线性光学效应如图1.3.22所示。

假如光场E=Eosin（ωt），把它代入式（1.3.21），整理并忽略χ3项，就可以得到光场引起的极化P为[4]

式中，第一项表示基波；第二项表示二次谐波；第三项表示直流分量，如图1.3.22（c）所示。

在光纤传输系统中，特别是多波长WDM系统，如果每个信道输出光功率都很大，当发射进同一根光纤时，影响最大的非线性效应是四波混频（Four-Wave Mixing，FWM）、受激拉曼散射（Stimulated Raman Scattering，SRS）和受激布里渊散射（Stimulated Brillouin Scattering，SBS）（见参考文献1的2.3.5节）。

1.3.8　TE、TM和HE

光波中的电场E垂直于传输方向z。入射平面是包含入射光和反射光的平面，即包含y轴和z轴的平面，即纸平面，如图1.3.23所示。电场分量分别有入射光、反射光和折射光分量，现在我们只考虑入射光的电场分量。

向光纤纤芯和包层边界传播的入射光包含两种可能的电场分量E⊥和磁场分量B⊥，它们均与纸平面垂直，分别如图1.3.23（a）和图1.3.23（b）所示。E⊥入射进入纸平面，而B⊥从纸平面出来。E⊥沿x方向传播，所以E⊥=Ex，而伴随它产生的磁场B∥是平行于纸平面。磁场分量B⊥垂直于纸平面，而伴随它产生的电场分量E∥也平行于纸平面。

在任何方向的电场可以分解为沿E∥和E⊥方向传播的电场分量。这两个电场分量经历着不同的相位变化，并以不同的入射角θm沿波导传播。因此，对于E∥和E⊥，就有互不相同的一套模式。与E⊥（或Ex）有关的模式称为横电模（Transverse Electric Field Modes），用TE表示，如图1.3.23（a）所示，因为E⊥垂直于传播方向z，所以称为横电模。

与横电模相对应，垂直于传播方向伴随E∥产生的磁场B⊥的模式称为横磁模（Transverse Magnetic Field Modes），用TM表示，如图1.3.23（b）所示。E∥具有平行于z轴的电场分量Ez，它沿着光传输的方向传输。很显然，Ez是传播的纵电模（与“横电模”对应）。与此相对应，对于TE，沿着光传输的方向传输的磁场分量Bz是纵磁模。在法布里-珀罗谐振腔内，沿轴线方向的各种驻波分布状态是纵模（见4.2.4节和4.2.5节），但与光纤内纵向光的传输要求是行波的状态不同（见2.2.2节）。光波纵模的概念和声波纵模的概念是一致的，即都与传播方向一致。

TE波在传输方向上有磁场分量，无电场分量；而TM波正好相反，在传输方向上无磁场分量，有电场分量。在均匀介质中传播的光是平面波，其电场和磁场的方向与光的传播方向垂直，如图1.2.4所示，即在传播方向上既无电场分量也无磁场分量，所以是一种横电磁波（TEM波）。光纤中传输的光在传输方向上既有电场分量，也有磁场分量，它是一种混合模，用HE或EH表示，可以看成传播方向上不同的平面波的合成。HE或EH的差异主要由电磁场在传输z方向上的投影分量的大小来决定。如果z方向上磁场分量占优势，则为HE；如果z方向上电场分量占优势，则为EH。

当纤芯和包层的折射率差（Δ）远远小于1时，轴向电场分量Ez和磁场分量Hz很小，因而弱导光纤中HE11近似为线性偏振模，并记为LP01。所以，HE11是两种偏振态相互垂直的TE和TM，其传播常数十分接近，并具有相同的等效折射率和传输速度，它是相互叠加的模，称为兼并模。有关光纤中传输的这种模，在2.2.2节中还要进一步介绍。

与全反射有关的相位Ф的变化取决于电场的偏振态，而且相位Ф随E∥和E⊥的不同而不同。但是当（n1-n2）?1时，两者相应Ф的差别很小，可以忽略不计。所以，对于TE和TM，波导条件和截止条件可以认为是相同的。