2.3 分数阶微积分的定义

随着分数阶微积分理论研究的深入，许多数学家找到了符合分数阶微积分概念的定义，目前常用的分数阶微积分定义为Grunwald-Letnikov（G-L）定义、Riemann-Liouville（R-L）定义和Caputo定义。对于分数阶微积分算子来说，当q＞0时，其表示分数阶微分，当q＜0时，其表示分数阶积分。

Gamma函数是分数阶微积分中重要的基本函数。Gamma函数的基本解释是所有实数阶乘的推广。根据Gamma函数的递归关系，可以得到

由式（2-10）、式（2-12）和式（2-20）得到G-L定义为

G-L型分数阶微积分的拉普拉斯变换为

R-L定义为

式中，q为函数的分数阶阶数，n是大于q的第一个整数。可以得到幂函数和常数条件下的q阶微分为

R-L 定义先对变量积分，积分阶数为n-q，再对变量微分，微分阶数为n。R-L型分数阶微积分的拉普拉斯变换为

如果初始条件为零，则式（2-26）可变换为

Caputo 定义是 G-L 定义的延伸，引入 Caputo 定义可以使拉普拉斯变换更简单，有利于讨论分数阶微分方程^[8]。

Caputo定义为

式中，q为函数的分数阶阶数，m是大于q的第一个整数。可以得到幂函数和常数条件下的q阶微分为

Caputo型分数阶微积分的拉普拉斯变换为

Caputo定义和R-L定义都在G-L定义的基础上改进得到，其适用范围比G-L定义的适用范围更广。

R-L 型分数阶微积分在纯数学领域的应用，使其在分数阶微积分的发展中具有重要作用，但其没有实际应用背景。在实际的固体力学和黏弹性理论中，存在一些需要利用分数阶微积分特有的动力学特性描述的现象，因此，需要了解方程的确切初始条件。虽然在数学上能够求解 R-L导数积分下限的极限值，但是在物理上没有相应的意义。因此，数学理论和实际需要存在差异。Caputo 定义具有更明确的物理意义，在测量和实际应用中更易实现，具有一定的优势。

R-L 型分数阶微积分是第一个通用定义，其在纯数学领域得到了广泛应用。然而，系统方程的初始值是 R-L定义的使用前提，其在很大程度上限制了该定义在物理学中的应用。

综上所述，纯数学理论和真实的物理应用之间存在巨大差异。因为Caputo型分数阶微积分具有更明确的物理意义且在实际的测量应用中更易实现，所以Caputo型分数阶微积分得到了广泛应用。