1.3.2　基

在1.2.3节就已经发现，对于二维向量空间，任何一个向量都可以用两个线性无关的向量线性表出。同样来思考三维向量空间，也有类似的情况，如图1-3-2所示，向量组是的一个线性无关的向量组（即：），此空间中任意一个向量可以用这三个向量线性表出，但如果给向量组再增加一个向量，则该向量组不再是线性无关的了，也就是说这个向量组也是一个极大线性无关组。

将得到的以上结论推广到任何向量空间，如果我们都可以找到一个极大线性无关的向量组，用它可线性表出这个向量空间的任何一个向量，那么称这个极大线性无关组为该向量空间的一个基（Basis）。

再如几何空间中的向量组，是极大线性无关组，它构成了几何空间的一个基，几何空间中的任何一个向量同样可以用这三个向量的线性组合表示。只不过，相比于图1-3-2中所示的那个基，这个基不那么“特殊”。

图1-3-2所示的基的特殊性在于：向量长度都是1，且彼此垂直（另外一种称谓是正交，参阅3.4.1节），因此也称其为标准基（Standard Basis，或称标准正交基），例如的一个标准基是：

显然，以上我们所选择的标准基更具有特殊性，即每个向量中只有一个值是非零值。有没有别的标准基呢？是不是标准基都如此？不是！只不过像上面那样选择标准基让向量的描述更简单。如图1-3-3所示，二维向量空间中的向量（以表示向量对象本身，即不需要依靠任何基以数学形式描述该向量），在标准基下描述为：

如果在另外一个标准基下描述，则为：

比较一下，哪个更简单？一目了然。所以，基于样式的标准基描述空间的向量，更符合我们的意愿。事实上，当我们用线性代数的方式将向量表示出来的时候，就已经为它选定了一个基——向量必须在向量空间的一个基下才能描述。例如，向量，在我们没有明确说明它的基的时候，事实上已经默认了一个基：

类似于（1.3.1）式的基是我们常用的向量空间的默认基。

如果以基中每个向量所在方向的直线为坐标轴，如图1-3-3所示，就创建了一个坐标系（Coordinate System）。很显然，不同的基所创建的坐标系是不同的，图1-3-3分别以实线和虚线表示了上述两个基所对应的坐标系。

（1.3.2）式和（1.3.3）式分别用不同的基描述向量，其中系数或者，称为坐标。

如果对进行乘法和加法运算，就得到了。由此可见，在这个坐标系中，向量的描述和坐标是完全一致的，并且符合我们的直观感觉。所以，在讨论某个空间的列向量或者行向量的时候，如果写成了类似这样的方式，就意味着该向量是基于空间的标准基描述的（回顾1.1节对向量的描述）。

把上述经验推广到其他向量空间，设（表示列向量）是某个向量空间的一个基，则该空间中一个向量可以描述为：

其中的即为向量在基的坐标。

如果有另外一个基（表示列向量），向量又描述为：

那么，同一个向量空间的这两个基有没有关系呢？有。不要忘记，基是一个向量组，例如基中的每个向量也在此向量空间，所以可以用基线性表出，即：

以矩阵（这里提前使用了矩阵的概念，是因为本书已经在前言中声明，我们假定读者学过高等数学。关于矩阵的更详细内容，请参阅第2章）的方式，可以表示为：

其中：

称为基向基的过渡矩阵。显然，过渡矩阵实现了一个基向另一个基的变换。

定义　在同一个向量空间，由基向基的过渡矩阵是，则：

注意：和分别用列向量方式表示此向量空间的不同的基。

根据（1.3.5）式，可得：

（1.3.4）式和（1.3.5）式描述的是同一个向量，所以：

如果写成矩阵形式，即：

表示了在同一个向量空间中，向量在不同基下的坐标之间的变换关系，我们称之为坐标变换公式。

定义　在某个向量空间中，由基向基的过渡矩阵是。某向量在基下的坐标是，在基下的坐标是，这两组坐标之间的关系是：

为了更直观地理解上述概念，下面以平面空间为例给予详细说明。如图1-3-4所示，有向量，所对应坐标系如实线所示（显然，基是）。此向量空间的另外一个基所对应的坐标系如虚线所示。

在中，分别以基向量的和的长度为单位长度，并以它们的各自方向分别设置为轴和轴的正方向。

●　坐标表示向量的长度在轴方向上是单位长度的倍（正数表示与轴正方向一致）；

●　坐标表示向量的长度在轴方向上是单位长度的倍（正数表示与轴正方向一致）。

同样，在中，分别以基向量的和的长度为单位长度并建立和坐标轴。如图1-3-4所示，先用几何方法，从点分别作和两个坐标轴的平行线，与坐标轴交点分别为，则这两个点的数值代表了相对于基向量长度的倍数，即向量在中的坐标。由图可知，，于是，在中向量表示为：。

如果不用几何的方式，采用前述的坐标变换公式，看看能不能得到同样结果。

基向基的过渡矩阵，由坐标变换公式（1.3.7）式得：

解得：

所以：

在中，，与前述几何方法计算结果一致。