1.4.1　什么是内积空间

既然内积是一种定义，那么首先给出此定义，再对其进行诠释。

定义　实数域上的向量空间中的内积是一个函数，用表示，其中是中的向量，并且得到的是一个实数。称为内积（Inner Product）。

并且，内积有如下公理（设为向量空间的向量，为标量）：

●　

●　

●　

●　，当且仅当时

一个赋予了以上内积的向量空间称为内积空间（Inner Product Space）。

注意，以上用表示内积，但并没有规定这个函数的具体形式，当规定函数的具体形式之后，还要检验它是否符合上述公理，如果符合，则该向量空间就是内积空间。

例如对于某向量空间中的任意向量，规定：

下面就依次检验这种规定是否符合前述公理。

●　验证

●　验证

●　验证

●　验证，当且仅当时

当且仅当时上式中等号成立，即当且仅当时。

一一验证通过，所以，具有（1.4.1）式内积运算的向量空间是一种内积空间。

通过上面的示例可知，根据内积的具体形式不同，可以规定不同的内积空间。但是在诸多的内积形式中，有一种是非常重要的，当然，它也是比较特殊的一种形式，即下面要探讨的点积。