7.2.1 正项级数及其审敛法

1．正项级数

定义7.2 若级数的每一项都是非负的，即un≥0（n=1,2,…），则称级数为正项级数.

对于正项级数，由于un≥0，因此部分和sn=sn－1＋un≥sn－1，部分和数列{sn}是单调递增数列.若部分和数列{sn}有界，根据单调有界原理，可知部分和数列{sn}的极限一定存在，此时正项级数收敛.反之，若正项级数收敛，则部分和数列{sn}的极限存在，从而部分和数列{sn}一定有界.因此，我们可以得到正项级数收敛的一个充要条件.

定理7.2 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列{sn}有界.

由定理7.2可知，如果正项级数的部分和数列{sn}无界，则级数一定发散，且sn→＋∞（n→∞），即.

2．正项级数的审敛法

根据定理7.2，可得到关于正项级数的一个基本的审敛法.

定理7.3（比较审敛法） 设有两个正项级数及，而且un≤vn（n=1,2,…）.

（1）如果级数收敛，则级数也收敛；

（2）如果级数发散，则级数也发散.

证明 设级数与的部分和分别为sn与σn，由于un≤vn（n=1,2,…），因此sn≤σn.

（1）若级数收敛，设其和为σ，则sn≤σn≤σ．即正项级数的部分和数列{sn}有界，则级数也收敛.

（2）若级数发散，则部分和sn必趋于无穷大，由于sn≤σn，从而级数的部分和σn也趋于无穷大，则级数也发散.

由于级数的每一项同乘不为零的常数和改变级数的前有限项不影响其敛散性，我们可得如下推论.

推论 设和都是正项级数，且存在自然数N，使当n≥N时有un≤kvn（k＞0）成立.如果级数收敛，则级数收敛；如果级数发散，则级数发散.

例7.8 级数

称为p级数，试讨论其敛散性，其中常数p＞0.

解 当p=1时，p级数式（7.6）为调和级数，故级数发散.

当0＜p＜1时，由于，而级数发散，所以p级数式（7.6）发散.

当p＞1时，此时有

对于级数，其部分和

因为，所以级数 收敛.从而根据定理7.3的推论可知，当p＞1时，p级数式（7.6）收敛.

综上所述：当p＞1时，p级数式（7.6）收敛；当0＜p≤1时，p级数式（7.6）发散.

比较审敛法是判断正项级数敛散性的一个重要方法.对一个给定的正项级数，如果要用比较审敛法来判别其收敛性，则首先要通过观察，找到另一个已知敛散性的级数与其进行比较，只有知道一些重要级数的收敛性，并加以灵活应用，才能熟练掌握比较审敛法.目前，我们熟悉的重要的已知级数有几何级数、调和级数以及p级数等.

例7.9 利用比较审敛法判别例7.1中级数的敛散性.

解 级数的一般项，且，而级数是p=2的p级数，它是收敛的.因此级数收敛.

为了应用上的方便，我们不加证明地给出比较审敛法的极限形式.

定理7.4（比较审敛法的极限形式） 设 和 都是正项级数，且.

微课：定理7.4的证明

（1）如果0＜l＜＋∞，则级数 和 同时收敛或同时发散；

（2）如果l=0，若收敛，则收敛；若发散，则发散；

（3）如果l=＋∞，若收敛，则收敛；若发散，则发散.

例7.10判别级数的敛散性.

解 因为，而级数发散，根据定理7.4，级数发散.

例7.11 判别级数的敛散性.

解 因为，而级数收敛，根据定理7.4，级数收敛.

用比较审敛法或其极限形式，都需要找到一个已知的参考级数做比较，这多少有些困难，下面介绍的审敛法，可以利用级数自身的特点，来判别级数的敛散性.

定理7.5（比值审敛法，达郎贝尔判别法） 设是正项级数，, 则

（1）当ρ＜1时，级数收敛；

（2）当ρ＞1时，级数发散；

（3）当ρ=1时，级数可能收敛，也可能发散.

证明 （1）当ρ＜1时，取定ε＞0，使得ρ＋ε=r＜1，由于，根据极限定义，存在正整数N，当n≥N时，有，于是

因此

uN＋1＜ruN, uN＋2＜ruN＋1＜r2uN, …, uN＋k＜ruN＋k－1＜rkuN, …，

因为r＜1，而 uN是常数，所以等比级数是收敛的，根据定理7.3的推论，知级数收敛.

（2）当ρ＞1时，取定ε＞0，使得ρ－ε=r＞1，由极限定义，存在正整数N，当n≥N时，有，于是有

因此

un＋1＞un.

所以当n≥N时，级数的一般项逐渐增大，从而，可知级数发散.

（3）当ρ=1时级数可能收敛也可能发散，例如p级数，不论p为何值时，都有

但当p＞1时p级数收敛，当p≤1时p级数发散，所以ρ=1时，可能收敛也可能发散.

例7.12 判别下列级数的敛散性.

（1）；

（2）.

解 （1）因为

根据定理7.5知级数收敛.

（2）因为

根据定理7.5知级数发散.

例7.13 判别级数的敛散性.

解 由于，这时ρ=1，因此比值审敛法失效，必须用其他方法来判别级数的敛散性.

因为，而级数收敛，因此由比较审敛法可知所给级数收敛.

【即时提问7.2】 如果正项级数收敛，是否一定可以得到呢？

定理7.6（根值审敛法，柯西判别法）设是正项级数，如果, 则

（1）当ρ＜1时，级数收敛；

（2）当ρ＞1时，级数发散；

（3）当ρ=1时，级数可能收敛，也可能发散.

定理7.6的证明与定理7.5相仿，这里从略.

微课：定理7.6的证明

例7.14 判别级数的敛散性.

解 由于，因此，根据定理7.6知原级数收敛.

注 判别一个正项级数的敛散性，一般而言，可按以下程序进行考虑.

（1）检查一般项，若，可判定级数发散；若，先试用比值审敛法.如果比值审敛法失效，则用比较审敛法或根值审敛法.

（2）用比值（根值）审敛法判定，若比值（根值）极限为1时，改用其他的判别方法.

（3）检查正项级数的部分和是否有界或判别部分和是否有极限.

上面我们讨论了正项级数的审敛法，本节我们还要继续讨论一般常数项级数敛散性的判别方法，这里所谓“一般常数项级数”是指级数的各项可以是正数、负数或零.先来讨论一种特殊的级数——交错级数，然后再讨论一般的常数项级数.