1.1.1　曲面

作为三维空间的基本几何概念，曲面是重点研究的内容之一．常见的简单曲面有球面、柱面，特别是圆柱面、锥面、椭球面、抛物面、双曲面，或者一般的旋转面，以及莫比乌斯（Möbius）环面和克莱因（Klein）瓶等颇具代表性的曲面．还有更为一般的曲面，包括光滑和非光滑曲面，如极小曲面、大自然中的各类物体，甚至植物的外表面等．

曲面在连续的情况下可以由直角坐标显式方程、参数方程以及一般方程进行描述，球坐标和柱坐标也是直角坐标显式方程中比较常用的表示方法．具体参见如下的例子：

（1）直角坐标显式表达式：

z=f（x, y）

例如，表示单位球面的上半部分．

（2）参数方程：

例如，对于固定常数r，方程组

{x, y, z}={rcosusinv, rsinusinv, rcosv}

表示半径为r的球面，式中（u, v）∈[0, 2π]×[0, π]．

（3）一般方程：

F（x, y, z）=0

例如，x2+y2+z2-2x=0表示一个偏心单位球面，其球心在点（1, 0, 0）．

注意，这里表示三维曲面的最终变量都是两个，可以简单地将一般方程理解为能够用其中的两个变量表示另外一个变量的方程．也就是说，实际上，三维空间的曲面应该是二维的．当然，这里讲的曲面都是光滑或者分片光滑的．所谓“曲面是光滑的”（或称“光滑曲面”）是指其上每一点都有一个，也是唯一的一个切平面，在该点与曲面本身相切．通俗来理解，曲面就是“柔性”平面弯曲成的，其字面意思就是“弯曲的面”．可以用饺子皮来直观地理解：摊开的饺子皮是平面，包成饺子以后就变成了空间曲面．

1）曲面的切平面

切平面的概念在前面已经提到．下面以二元函数w=f（x, y）为例，回顾一下函数的可微性．函数w在点（x0，y0）处可微是指存在与该点有关的两个常数A1和A2，使得在该点附近满足

w-w0=A1（x-x0）+A2（y-y0）+o（ρ）

式中，w=f（x, y），w0=f（x0，y0），．实际上，这里的常数A1和A2分别是函数w=f（x, y）在点（x0，y0）处的两个偏导数，即

A1=fx（x0，y0），　A2=fy（x0，y0）

曲面Σ是光滑的，意味着曲面上的每一点都有切平面，这个概念通常与函数的可微性联系在一起．

以显式表达为例．可微函数z=f（x, y）在点P（x, y, z）处的切平面记为πP，其方程满足

其中，点Q（X, Y, Z）∈πP．该切平面πP的法向量

n=±{fx, fy，-1}

或者取

n∥{fx, fy，-1}

式中，∥表示两条向量平行．

对于由一般方程表示的光滑曲面

不妨假设在曲面上某点P（x, y, z）附近有局部显式方程z=z（x, y），此时偏导数Fz|P≠0，则代入方程（1-3）后得到

两边分别对x、y求偏导数得出

对照显式方程的切平面，即式（1-2），将式（1-5）的偏导数代入后化简得到切平面

这里的Q（X, Y, Z）∈πP，而法向量n∥{Fx, Fy, Fz}|P，即

其中，P（x, y, z）∈Σ，切平面上的点Q（X, Y, Z）∈πp，取n为曲面Σ在点P（x, y, z）处切平面的法向量．在图1-3中，曲面Σ的切平面的法向量n取向为向上．如图1-3（a）所示的参数方程下经线u=C（C为常数）和纬线v=C在点P0处的切向量垂直于向上的法向量n．如图1-3（b）所示为将曲面参数方程表示的切平面方程应用到一般方程表示的曲面．

2）切平面的参数方程

相对于曲面的参数方程而言，平面的参数方程形式更简单．

我们知道，直线可以理解为过一点且沿着一条固定向量方向无限延伸（正反方向都延伸），一个平面可以通过两条过同一点的直线来张成．这样，决定一个曲面的关键因素即为一个点和两条向量．

假设平面π过点P0（x0，y0，z0）并且由过该点的两条不平行向量（或者直线）a=P0Q1和b=P0Q2张成，即

这里的P0∈π, P∈π．如图1-4所示，平面由两个向量a和b张成，而平面上的任意一条向量都垂直于平面的法向量n．具体地，若有平面π上的点P（x, y, z）和两条不平行的向量

则此时参数方程（1-8）表现为如下形式：

其中，矩阵是满秩．

当然，平面还可以改写成由法向量表示的形式．

假设向量n是平面π的法向量，已知平面π过一个固定点P0（x0，y0，z0），

那么平面π可以用法向量表示为

注意，这里的法向量n平行于向量a×b，即向量a和b的叉积或向量积．也就是说

式中，向量i、j、k分别是x轴、y轴和z轴方向的单位定向向量．

对于参数方程（1-1）表示的曲面Σ，考虑在P0点处的经线u=C和纬线v=C，此处经、纬线的切向量{φv, ψv, ηv}和{φu, ψu, ηu}同时垂直于法向量n，如图1-3取的是向上的法向量．这样，可以取法向量n平行于经、纬线的公垂向量，即同时垂直于这两条经、纬线的切向量

这样，同样可以得到切平面方程（1-7）．当然，也可以用参数方程来表达切平面，即

式中，λ、μ都是参数．

考虑一般方程表示的曲面Σ：F（x, y, z）=0．显式方程z=f（x, y）可以转化成f（x, y）-z=0，即可写成一般方程的形式．对曲面方程两边计算全微分

这里的向量{dx，dy，dz}对应曲面Σ在点P0（x0，y0，z0）处的切平面上的向量．需要注意的是，dz是可以通过dx和dy表示的．

换言之，对一般方程表示的曲面Σ分别固定变量x和y得到经线和纬线两条平面曲线，其切线的定向矢量分别为{0, 1, zy}和{1, 0, zx}，其中，zx=．

或者可以取切平面的两个定向矢量为上述向量的平行向量（分别平行于经、纬线的切线），即

得出曲面Σ在点P0（x0，y0，z0）处的切平面的方程[见图1-3（b）]

式中，参数（λ, μ）∈R2．也就是说，切平面上的向量是通过经、纬线的切线lx和ly线性表示的．

3）曲面面积的计算

这里讨论的可计算面积的曲面是指光滑或者分片光滑曲面．所谓光滑曲面是指曲面上每一点都有唯一的切平面．曲面面积的计算是基于切平面方法的，如图1-5所示．基本思想是将定义域使用相互垂直的经、纬线分割成一些小片定义域dσ，直角坐标系下dσ=dxdy.dσ在不混淆的情况下也表示该小片的面积，它们对应小曲面片dS和相应切平面上的小平面片dΣ．在曲面函数可微的条件下，每一点都有切平面，这时的小曲面片（仍记为dS）面积近似等于相应切平面上的小平面片面积（仍记为dΣ），这个面积在数值上与dσ相差一个倍数|secγ|，这里的γ表示与dσ平行的坐标面的法向量与dS（或者dΣ）的法向n夹角，γ∈[0, π/2）

如图1-5所示，小切平面面积近似等于对应的小曲面片面积，其中切面上和曲面上阴影部分在坐标面的投影即最下层的平面．

这样，在三种表示形式下，曲面的面积计算方法如下：

（1）在直角坐标显式方程z=f（x, y）下，γ就是切面法向量n与z轴正向之间的锐角夹角．曲面面积

这里的Ω是曲面Σ在xOy坐标面上的定义域．注意，这里要求曲面Σ[函数z=f（z, y）]上的点与该点在xOy坐标面上的投影具有单值性．

（2）在参数方程r={x, y, z}={φ（u, v），ψ（u, v），η（u, v）}[（u, v）∈Ω]表示下，不妨选取切平面的法向量

式中，i、j、k分别为x轴、y轴和z轴正向的单位向量．注意，选取时应使n与z轴正方向夹角为锐角．

式中，，而E、G和F为曲面第一基本形式系数，即

此时的面积元

式中，行列式外面的|·|表示绝对值．实际上

这里用到了外形式dx∧dy．从而，此时的曲面面积计算式为

（3）在一般方程F（x, y, z）=0表示下，视情况考虑将曲面投影到三个坐标面之一．这里不妨假设将曲面Σ投影到xOy面，得到没有重叠的平面区域Ωxy，那就可以参照前面显式方程表达的面积计算公式，只要注意

这样，有曲面面积公式