第1章
优雅的含义

字典中“优雅”一词的定义——仪态万方、品位非凡、精致奢华，在本书中并没有太大参考价值。“雅致经济”（Elegant economy）更接近我要表达的意思，但该词已被盖斯凯尔夫人用来描述《克兰福德》[(1)]里的生活方式（那可不是我要表达的意思）。因此，我想通过一个完全微不足道的数学题（这道题没有其他的用途，不深刻，也不重要）的3种解答方式，来试着解释一下“科学中的优雅”指的是什么。问题是这样的：

画一个8×8网格，总共有64个方格（图1左）。假设我们有32块多米诺骨牌，每块的大小为2个方格。显然，把所有骨牌都用上，我们就可以覆盖所有方格，而且会有很多不同的方法。现在，假设我们从网格的对角处移走2个方格，并扔掉1块骨牌。问题是：我们能用剩下31块骨牌覆盖剩下62个方格吗？

31块骨牌覆盖的总面积与62个方格的总面积相同，因此这项任务并非不可能完成。那么，我们如何判断是否有可能呢？一种方法是通过系统的试错，那将是单调乏味，且与优雅毫无关联的，而你不会疯狂做这件事的唯一原因是，你需要真正疯掉才会那么干。

另一种更好的方法是假设任务可以完成，然后看看该假设会引出什么推论。看一下最上面一行方格，由于失去了1个角上的方格，只有7个方格需要覆盖。任何一块横向放置的骨牌都会覆盖2个方格，所以无论我们在那一行横向放置多少块骨牌，它们覆盖方格的总数始终是偶数。这将留下奇数个方格由竖向放置的骨牌填充，因此会有奇数个竖向骨牌垂到第二行。相对地，这意味着第二行中有奇数个方格需要填充，并且可以重复同样的论证。我们一直走到最后一行。无论如何，奇数个竖向骨牌都会从上一行垂下，所以横向骨牌会填满偶数个方格。到目前为止，显然没有什么是不可能的。

但是考虑一下竖向骨牌的总数。我们有7行，每行都有奇数个竖向骨牌。奇数的7倍本身就是奇数，所以竖向骨牌的总数一定是奇数。

现在，如果我们不是从最上面一行开始，而是从最左边一列开始，类似的论证将证明横向骨牌的总数一定是奇数。如果竖向骨牌的数量是奇数，横向骨牌的数量也是奇数，那么骨牌的总数一定是偶数。但这是不对的，因为我们知道需要31块骨牌才能覆盖所有方格。到底是哪里出了问题？好吧，论证中唯一不确定的步骤是最初的假设，即该任务是有解的。如果这个假设得出两个相互矛盾的结论，那么它一定是错的。这个任务定然不可能完成。

这一论证过程是完全合理的，甚至称得上巧妙，它给出了正确答案。但它是那种我们必须检查几遍、确信没有问题才能放下心来的论证。因此，让我们来看看第三个解决方案。

想象一下，我们一开始的网格是一个黑白交替的棋盘。任何正确放置在棋盘上的骨牌都将不可避免地覆盖一个黑方格和一个白方格。但当我们从棋盘的对角移走一对方格时，它们必然要么都是黑色的，要么都是白色的。结论很明显了，在每块骨牌都必须覆盖一黑一白两个方格的情况下，我们无法用31块骨牌覆盖整个棋盘。这的确是一个非常优雅的证明。人们只要领会了这个论证，就会觉得它一目了然，对其有效性也不再有任何怀疑。它易于理解、简洁巧妙、有说服力。它出人意料，也令人心满意足。

当然，如果这个问题不是那么微不足道，它就更令人心满意足了。因此，我们来看一些更重要的问题。

毕达哥拉斯定理（又被称为勾股定理）已经存在了几千年，人们其实并不确定毕达哥拉斯是否发现或证明过它，而且似乎巴比伦人更早的时候就知道了它。[1]该定理指出，在任意直角三角形中，斜边（与直角相对的那条边）的平方等于其他两边边长的平方之和（见图2）。有人认为，毕达哥拉斯可能是在访问埃及期间对该定理产生了兴趣，因为埃及人知道一个三边分别为3、4和5个单位长的三角形是直角三角形，当然还有32+42等于52。该定理对以图3所示的那种模式排列的“半方形三角形”瓷砖来说显然是正确的，这是埃及墙壁和地板上的一种常见图案。但“3、4、5三角形”和“半方形三角形”是特殊情况，勾股定理适用于所有直角三角形。

我们并不知道该定理于何时、何地以及如何首次被证明，但在毕达哥拉斯之后3个世纪，欧几里得提供了一个从那时起就一直是标准的证明。它涉及一个略微复杂的结构（见图4）和关于全等三角形定理的应用，以及关于（用专业术语来说）“在同一底边和同一对平行线之间”的三角形和矩形的面积之间的关系。对于像我们这样难以记住复杂结构或者相关定理的人，还有一个标准证明，其结构更简单，几何论证更少，但涉及代数证明较多。这两个证明以及其他无数证明，包括美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德（James Garfield）发明的证明方法，都是完全令人信服的，但它们大多缺少让人“哇”一声的元素。不过，还有一个简单得多的证明，其来源不详，但肯定在19世纪就已经为人所知。它是这样的：

取4个相同的直角三角形，如图5左图所示排列，它们的直角边连接成了一个方框。这个方框的总面积等于4个三角形的面积加上中间正方形（由三角形斜边围成的正方形）的面积。接着在方框内重新排列三角形，如图5右图所示。这时方框的总面积等于4个三角形的面积加上2个正方形（边长分别是直角三角形的两个直角边）的面积。由于方框的总面积和4个三角形的面积是不变的，所以（图5左图）由斜边围成的正方形面积必然等于（图5右图）由两个直角边围成的正方形的面积之和。这一论证令人不禁想喊一声：“哇！”

第二个重要的数学问题是由生活在公元前3世纪的锡拉库萨的阿基米德解决的。他是第一个证明圆的面积等于πr2的人，其中r是半径，π（他实际上并没有把它称为“π”）是任意圆的周长与直径的比。这个证明不仅非常优雅，而且启发了2000年后积分学发展中所使用的方法。该方法的原理是，将一系列边数不断增加的正多边形放入圆内（如图6所示）。随着边数的增加，多边形的面积越来越接近圆的面积，多边形的周长越来越接近圆的周长，而组成多边形的三角形的高则越来越接近圆的半径。通过观察重新排列组成每个多边形的三角形，我们不难得出：随着多边形边数的增加，多边形的面积也越来越接近宽度等于圆的半径、长度等于圆的周长的矩形面积的一半。由于周长是2πr，这个长方形的面积一定是2πr2，所以面积的一半一定是πr2。由此可见，随着多边形边数的增加，其面积越来越接近πr2。因此，它一定是圆的面积。

当我把这个证明给我刚刚掌握圆面积计算方法的12岁孙女看时，她的评价是：“这确实很酷！”对她这一代人来说，“确实很酷”或许应该被纳入决定科学中什么是优雅的标准中。但据我所知，尽管阿基米德的证明简单且古老，但学校从未将其传授给孩子们。这是个遗憾。

奇怪的是，虽然阿基米德认为自己是数学家，并要求后人在他的墓碑上铭刻他在数学领域的成就，但大多数人之所以熟悉他的名字，要么是因为我们在学校里学过的他的“原理”，要么是因为他发现金匠为锡拉库萨国王制作的新王冠不是纯金的非凡故事。这个原理是一个深刻发现，揭开了浮力的神秘面纱，即当固体全部或部分浸入液体中时，液体对固体的浮力等于被排开液体的重量。他的“侦探工作”虽然涉及被排开的水，但与他的“原理”无关。国王是阿基米德的朋友，他怀疑金匠在制作王冠时私吞了一些黄金，用相同重量的银来代替金。据说，阿基米德在洗澡时想到了这个问题的答案。他走进一个装满水的浴缸时，注意到水溢出来了。于是他立即意识到，如果能测量出王冠浸入水中排出的水量，他就能知道它的体积。如果他把王冠的重量也称出来，就可以计算出它的密度，而这也将告诉他王冠中是否混有密度较低的银。据说当时他由于太兴奋，赤身裸体地冲到街上，大喊道：“尤里卡！尤里卡！”（这是个古希腊语单词，意思是“我发现了”）。这个如今已是老生常谈的故事是否真实尚不清楚：我们是从公元前1世纪的建筑师维特鲁威的著作中读到它的。

顺便说一句，阿基米德常常会在巧妙地解决了机械问题后发表一些令人难忘的言论。虽然杠杆的使用由来已久，但他似乎是最早意识到施加在杠杆上的拉力与施加在负载上的力之间的比率等于两个距离——从支点到负载的距离和从支点到拉力受力点的距离——之间比率的人。“给我一个支点，”他说，“我就能撬动地球！”当然，这是一个夸张说法，因为他还需要为支点找个立足之地，更不用说一根超长杆子了。但总的来说，阿基米德的想法既实用又优雅。通过在密封管道内转动一根圆柱形螺丝（见图7），他能够将水泵上山坡，既可以用于灌溉，也可以用来清洗希腊船只的积水舱。

顺便提一下，2007年4月，正是由于人们使用“阿基米德螺杆”的现代水泵发生故障，导致1.2亿升经过过滤但未经其他处理的污水被排放到爱丁堡附近的福斯湾。[2]

阿基米德如此优雅地解决了这5个问题：如何计算一个圆的面积？是什么决定了物体能否漂浮？如何判断你的“金冠”是否掺杂了银？如果你想用微弱的力举起一个重物，你该如何安置杠杆？如何往山上泵水？这些都是之前已经被意识到的问题。当然，先发现问题再解决问题也是事件通常的处理流程。但有一种罕见情况是，一个优雅论证揭示了一个完全未被怀疑的问题存在。一个极佳的例子就是大众熟知的“奥伯斯佯谬”，尽管先前已经有人意识到这个问题。[3]海因里希·奥伯斯（Heinrich Olbers）是18世纪末19世纪初德国不来梅一位出色的医生，对数学和天文学充满热情。16岁时，还是学生的他预测出了一次日食事件的发生时间，让所有人都大吃一惊。在哥廷根大学，他学习了数学、物理和医学。后来他还发现了小行星和彗星，并想出了计算彗星轨迹的更好方法。他在64岁时退出医疗行业，并于同年发表了他的佯谬。那么，这个佯谬是什么呢？

我们所有人一生中都看过夜空，欣赏过星星，并理所当然地认为星星之间的天空是黑色的。奥伯斯的成就在于，他认识到为什么夜空呈现黑色是一个值得探究的问题。

他假设宇宙是无限的，而且在各个方向上大致是均匀的。想一下天空中的星星发散至我们这里的光。以我们自己为中心，把天空想象成任意厚度的同心壳层——所有壳的厚度相同，就像一层层的洋葱（见图8）。现在考虑两个壳，一个离我们的距离是另一个的2倍，然后比较我们从每个壳中接收到的光量。正如开普勒在1604年认识到的那样，从点光源落在表面的光量与该表面和光源之间距离的平方成反比（想象一个位于空心球体中心的蜡烛，并思考落在球体内表面单位面积上的光量如何随球体半径的变化而变化，这样你就能明白定然如此。无论球的半径是多少，落在内表面的光量都是一样的。半径增加1倍，内表面的面积就会增加4倍，所以落在单位面积上的光量将是原来的四分之一）。现在，接着聊我们从两个壳中的恒星接收到的光量，从较远壳中的单个恒星发出的光，平均来说，要走2倍远的距离，所以根据平方反比定律，其强度将是原来的四分之一。但较远壳的体积是较近壳的4倍（这是因为壳的厚度相同，以及面积与半径的平方成正比）。如果宇宙大体上是均匀的，那么较远壳将包含4倍数量的恒星，所以平方反比定律的影响将被增加的恒星数量抵消。因此，从较远壳到达我们这里的光如果没有被中间的恒星阻挡，其平均强度与从较近壳到达这里的光相同。这对其他所有的壳来说都成立。按照这个思路论证下去，你就能意识到天空中的所有区域都应该看起来非常明亮才对，因为较近恒星之间的空隙可以让我们看到来自更远恒星的光。换句话说，在每个方向上，我们都应该能看到来自恒星的光，而人们认为太远的恒星太暗的直觉是不对的，因为它们的数量更多。

从天空呈现黑色这一点得出的结论是，我们看到的光一定来自有限数量的恒星，这要么是因为恒星数量确实有限，要么是因为（不管什么原因）来自更远恒星的光没有到达我们这里。奥伯斯本人认为，这个解释是因为星际物质的存在，空间并非绝对透明的。我们现在知道，天空呈现黑色主要是因为没有无限数量的星系，部分原因是宇宙的膨胀（由于宇宙在均匀地膨胀，其他星系正以与我们距离成正比的速度远离我们，所以来自更远星系的光在我们看来会有更长的波长，即所谓的“红移”，而来自它们的能量则会以更低的速度到达我们这里）。但是“奥伯斯佯谬”的优雅之处在于，这种意义深远的结论既可以从人们第一次仰望夜空时的观测中得出，也可以从哪怕在奥伯斯时代就已经存在了两个多世纪的理论——基本几何学和平方反比定律中得出。

我认为，数学家比其他科学家更关心其工作的优雅性，这可能就是为什么本书以数学或者与部分数学相关的例子作为开始是件很自然的事情。虽然很少有人关注它，但优雅存在于整个科学领域，我想用两个几乎完全没有数学概念的例子来结束本章。

第一个是生理学家威廉·哈维（William Harvey）在1628年发表的一个实验，[4]当时他大约50岁，不过该实验在10年前就已经完成。当时，人们还没有意识到心脏是一个泵，也没有意识到血液的持续循环。人们认为，血液在动脉和静脉中以不规则的方式涌动。

19岁时，哈维在剑桥大学凯斯学院取得学士学位，并决定成为一名医生。为此，他去了意大利帕多瓦大学，师从阿卡彭登特的耶罗尼米斯·法布里修斯（Hieronymus Fabricius）。当时法布里修斯正对16世纪人们在静脉中发现的瓣膜进行研究，但他误解了这些瓣膜的作用，认为它们只是为了减缓血液的流动，好让组织有更多时间吸收营养。获得医学学位后，哈维回到伦敦，开始行医，后来成为圣巴塞洛缪医院的医生。在业余时间，他检查了大量动物的心脏和血管，并做了许多实验。不过我想描述的实验不需要任何动物，极其简单。

如果你在手臂肘部上方系一根袖带，并将其拉紧（但不要过紧），前臂的静脉就会充血，你可以看到它们变成了一个由略微凸起的蓝色线条组成的网络，偶尔会有“结点或凸起”（这是哈维当时的措辞），表明有瓣膜存在（见图9上图）。接着，如果你把指尖紧紧地按在静脉的一个点上，然后用另一根手指“把血往上赶（肘部方向），赶过下一个瓣膜”，你会发现，即使第二根手指已经移开，第一根手指和瓣膜之间的静脉仍然是空的（见图9下图）。用哈维的话说：“血液不能逆行。”但只要你移开第一根手指，静脉无血部分就会立即从下面回流。这一连串的事件可以重复无数次。从这类观察中可能得出的唯一结论是，静脉中的血液只流向一个方向，而且是流向心脏。根据静脉的尺寸和它回流的速度，哈维对血液流速做了粗略估计，并得出结论：血液不仅在循环，而且在快速循环。

哈维这个实验有一个显著特点，就是它很容易做到。因此，人们不得不问，为什么直到17世纪才有人做？哈维本人对盖伦（Galen）没有发现血液循环感到困惑，后者在公元2世纪就证明了动脉中含有血液，而不是空气[(2)]——与当时人们普遍认为的观点相反。哈维的实验迟迟没有发表，这无疑在一定程度上反映了哈维推翻盖伦观点时的谨慎，但也有一个真正的困难。如果血液通过动脉离开心脏，由静脉返回，那么它是如何从动脉流向静脉的呢？直到哈维去世、显微镜发明之后，马塞洛·马尔皮吉（Marcello Malpighi）才发现毛细血管的存在。

日记作家约翰·奥布里（John Aubrey）在他的《简明生活》一书中写道：

哈维说，在他的《血液循环》一书出版后，他的问诊人数大幅减少，人们都认为他脑子有问题。所有医生都反对他的观点，嫉妒他……

尽管如此，哈维1657年去世时，还是给他兄弟留下了2万英镑遗产。

哈维实验得出的结论令他同时代的人感到震惊，但对4个世纪后的我们来说平平无奇。作为本章的结尾，我想描述一个至今仍然令人吃惊的观察结果（尽管该实验最初在1898年被提出[5]）。它揭示了我们视觉的一个重要特征，且就像哈维对静脉的观察一样，你几乎可以不费吹灰之力地亲自证实。你需要的只是一面镜子和一个朋友。

请朋友站在你面前约60厘米远的一个地方，交替看你的左眼和右眼，每隔一两秒切换一次。你将发现你朋友的眼睛在每次切换时快速移动。现在站在镜子前大约30厘米处（这样你的镜像与你朋友距离你差不多远），交替看镜子里你的左眼和右眼。你完全看不到任何动作——尽管旁观者可以轻松地看到你的眼睛在动。看来，当我们的眼球在快速转动时，我们会忽略自己视网膜上的图像。这很有道理，因为在这些快速运动中，我们视网膜上的图像会变得模糊不清和无用，并且会使我们对所看场景中接收信息的分析变得复杂。但这种可以所谓“关闭”的能力是非同凡响的，且至今尚未被完全理解。其可能涉及视觉通路中的某种“门控”，作用是阻止至少部分传入的视觉信息从正在迅速改变方向的眼睛到达大脑皮层。

在本书其余部分，我将探讨与优雅理论、优雅解释和优雅实验相关的例子。这些例子涉及许多不同领域，来自不同时期的研究。我将尽量选择非科学界的读者也能理解的例子，并讲清楚被讨论的研究在完成时的“状态”。另外，因为科学家也是凡人，而且往往颇有魅力，所以我有时也会介绍一下科学家的背景和人物性格。