3.3　考研真题详解

一、名词解释

1消费者均衡[华东政法大学2007研]

答：消费者均衡是指消费者的效用达到最大并维持不变的一种状态，其研究单个消费者如何把有限的货币收入分配在各种商品的购买中以获得最大的效用。也可以说，它是研究单个消费者在既定收入下实现效用最大化的均衡条件。这里的均衡指消费者实现最大效用时既不想再增加、也不想再减少任何商品购买数量的这么一种相对静止的状态。

基数效用论者认为，消费者实现效用最大化的均衡条件是：如果消费者的货币收入水平是固定不变的，市场上各种商品的价格是已知的，那么，消费者应该使自己所购买的各种商品的边际效用与价格之比相等。或者说，消费者应使自己花费在各种商品购买上的最后一元钱所带来的边际效用相等，即MU₁/P₁＝MU₂/P₂＝…＝λ，其中λ为货币的边际效用。

序数效用论者把无差异曲线和预算线结合在一起说明消费者的均衡。任何一个理性的消费者在用一定的收入购买商品时，其目的是为了从中获得尽可能大的消费满足。消费者偏好决定了消费者的无差异曲线，一个消费者的关于任何两种商品的无差异曲线组可以覆盖整个坐标平面；消费者的收入和商品的价格决定了消费者的预算线，在收入既定和商品价格已知的条件下，一个消费者关于两种商品的预算线只能有一条。那么，当一个消费者面临一条既定的预算线和无数条无差异曲线时，只有既定的预算线和其中一条无差异曲线的相切点，才是消费者获得最大效用水平或满足程度的均衡点，此时满足MRS₁₂＝P₁/P₂。

2补偿预算线[华东政法大学2007研]

答：补偿预算线是用来表示当商品的价格发生变化引起消费者的实际收入水平发生变化时，用假设的货币收入的增减来维持消费者的实际收入水平不变的一种分析工具。

具体来说，在商品价格下降引起消费者的实际收入水平提高时，可以取走消费者的一部分货币收入，以使消费者的实际收入下降到只能维持原有的无差异曲线的效用水平（即原有的实际收入水平）这一情况。相反，在商品价格上升引起消费者实际收入水平下降时，可以对消费者的损失给予一定的货币收入补偿，以使消费者的实际收入维持原有的水平，则补偿预算线在此就可以用来表示消费者的货币收入提高到得以维持原有的无差异曲线的效用水平（即原有的实际收入水平）这一情况。

3消费者剩余[上海理工大学2005研；南京航空航天大学2006研]

答：消费者剩余是指消费者在购买一定数量的某种商品时愿意支付的最高总价格和实际支付的总价格之间的差额。由于消费者消费不同数量的同种商品所获得的边际效用是不同的，所以，他们对不同数量的同种商品所愿意支付的价格也是不同的。但是，消费者在市场上所面临的同种商品的价格往往却是相同的，这样，消费者为一定数量的某种商品所愿意支付的价格和他实际支付的价格之间就会有一定的差额，这一差额就构成消费者剩余。消费者剩余可以用图3-11来表示。

图3-11　消费者剩余

如图3-11所示，反需求函数P^d＝f（Q）表示消费者对每一单位商品所愿意支付的最高价格。消费者剩余可以用消费者需求曲线以下、市场价格线以上的面积来表示，即图3-11中的阴影部分面积所示。

二、简答题

1当收入和价格发生变化时，无差异曲线是否会发生改变和移动？请说明理由。[浙江大学2005研]

答：当收入和价格发生变化时，无差异曲线不会发生改变和移动。理由如下：

无差异曲线的一个重要性质是任意两条无差异曲线不能相交。该性质的核心意义是任意无差异曲线表示特定效用量。无差异曲线的形状和位置是由消费者的偏好决定的，只要消费者的偏好不发生变化，其无差异曲线就不会变动。

当收入和价格发生变动的时候，消费者的预算线将发生改变和移动，与无差异曲线的切点改变，从而使最终选择发生变化，但这不会引起无差异曲线变动。

2证明：若消费者的全部收入只购买两种商品，那么这两种商品不可能都是劣等品。[对外经济贸易大学2007研]

证明：劣等品是指随着消费者收入的增加，其需求量减少的商品。如果假设x_i（p，m）是第i种商品的马歇尔需求函数，那么商品i是劣等品就意味着∂x_i（p，m）/∂m＜0。对于消费两种商品的消费者，如下的预算约束恒成立：

p₁x₁（p₁，p₂，m）＋p₂x₂（p₁，p₂，m）＝m①

①式两边关于收入m求导，得到：

p₁[∂x₁（p₁，p₂，m）/∂m]＋p₂[∂x₂（p₁，p₂，m）/∂m]＝1

对于消费两种商品的消费者，等式②恒成立。

假设商品1和2都是劣等品，那么就有∂x_i（p，m）/∂m＜0，i＝1或2，从而②式左边恒小于零，等式②不成立，这与消费者只消费两种商品矛盾。所以如果一个消费者只消费两种商品，那么它们不可能都是劣等品。

三、计算题

1某消费者的偏好由以下效用函数描述：U（x₁，x₂）＝（lnx₁＋2lnx₂）/3，其中lnx是x的自然对数。商品1和商品2的价格分别为P₁和P₂，消费者的收入为m。

（1）写出消费者的最大化问题。

（2）求出需求函数x₁（P₁，P₂，m）和x₂（P₁，P₂，m）。

（3）设价格P₁＝P₂＝1，画出每种商品与此价格相应的恩格尔曲线，该曲线描述了商品需求和收入之间的关系（经济学家的习惯是把收入作为纵坐标）。

（4）设m＝10，P₂＝5，画出商品1的需求曲线，该曲线描述了商品需求和价格之间的关系（经济学家的习惯是把价格作为纵坐标）。

（5）判断商品1和商品2是正常品还是劣等品，是普通品还是吉芬品，是互补品还是替代品。[复旦大学2004研]

解：（1）消费者的最大化问题即在收入约束下，消费者效用最大化。用数学表达式表示为：

（2）消费者的预算线方程：P₁x₁＋P₂x₂＝m。

由消费者的效用函数，可得出商品x₁和x₂的边际效用，即MU₁＝1/（3x₁），MU₂＝2/（3x₂）。

根据消费者效用最大化的一阶条件MU₁/MU₂＝P₁/P₂，可得：2P₁x₁＝P₂x₂。

将上式代入预算线方程，可得：x₁＝m/（3P₁），x₂＝2m/（3P₂）。

（3）当价格P₁＝P₂＝1时，x₁＝m/3，x₂＝2m/3。与价格相对应的两种商品的恩格尔曲线如图3-12所示。

图3-12　P₁＝P₂＝1时两种商品的恩格尔曲线

（4）当m＝10，P₂＝5，商品1的需求函数为：x₁＝10/（3P₁）。商品1的需求曲线如图3-13所示。

图3-13　商品1的需求曲线

（5）由商品1、商品2的需求函数以及商品的收入弹性可以看出，商品1和商品2都是正常品。根据需求交叉弹性可以得出，e_x1x2＝0，因此商品1和商品2是无关品，不存在相关关系。

2假设存在一个社会，这个社会由三个消费者组成，他们分别是1，2，3。同时，该社会存在着两种商品，分别是x和y。经济学家Debreu对这三个消费者的消费行为进行分析，他认为1，2，3的偏好可以分别用如下的效用函数来表示：

①u₁（x，y）＝xy；

②u₂（x，y）＝x^αy^β，其中α＞0，β＞0；

③u₃（x，y）＝γlnx＋（1－γ）lny，其中γ∈（0，1）。

（1）请画出消费者1的无差异曲线以及偏好的上等值集；

（2）假如商品x和商品y的价格分别是2单位货币和3单位货币，同时消费者1拥有120单位货币，试计算他对x和y的最优消费量；

（3）证明：消费者2和消费者3的偏好是一致的；

（4）现在假设商品x和商品y的价格分别是P₁和P₂，消费者2拥有I单位货币，请计算他的消费选择；

（5）用公式和图像给出消费者3对于x商品的收入-消费路径。[复旦大学2007研]

解：（1）根据序数效用理论，无差异曲线是维持效用不变的商品组合的轨迹，偏好的上等值集就是无差异曲线右上方部分。根据消费者1的效用函数，其无差异曲线及上等值集如图3-14所示。

图3-14　消费者1的无差异曲线及上等值集

（2）消费者1的预算线方程：2x＋3y＝120。

由消费者1的效用函数，可得出商品x和y的边际效用，即MU_x＝y，MU_y＝x。

根据消费者效用最大化的一阶条件MU_x/MU_y＝P_x/P_y，可得：y/x＝2/3。

将上式代入预算线方程，可得：x＝30，y＝20。

即消费者1对x和y的最优消费量为（30，20）。

（3）根据效用函数的性质：效用函数的线性变换依然是同一偏好的效用函数。对消费者2的效用函数进行取自然对数的线性变换，可得：lnu₂＝αlnx＋βlny。

令α＝γ，β＝1－γ，因此lnu₂＝αlnx＋βln_y＝u₃。

因此，消费者2和消费者3的效用函数是同一偏好的效用函数，即消费者2和消费者3的偏好是一致的。

（4）消费者2的预算线方程：P_xx＋P_yy＝I。

由消费者2的效用函数，可得商品x和y的边际效用，即：

MU_x＝αx^α－1y^β

MU_y＝βx^αy^β－1

根据消费者效用最大化的一阶条件MU_x/MU_y＝P_x/P_y，可得：（α/β）×（y/x）＝P₁/P₂。

将上式代入预算线方程，可得：x＝αI/[（α＋β）P₁]，y＝βI/[（α＋β）P₂]。

即消费者2对x的最优消费量为αI/[（α＋β）P₁]，对y的最优消费量为βI/[（α＋β）P₂]。

（5）消费者3的偏好和消费者2的偏好是一致的，因此消费者3的最优化问题和消费者2是相同的。

消费者3的恩格尔曲线方程为：x＝γI/P₁，其中x的价格P₁为常数。恩格尔曲线方程就是x商品的收入-消费途径，如图3-15所示。

图3-15　消费者3对于商品x的收入-消费途径

四、论述题

某消费者消费商品X和Y，其消费行为达到均衡（即MU_X/P_X＝MU_Y/P_Y），现假设P_X下降，P_Y保持不变。请论证说明：

（1）该消费者对商品X的需求价格弹性小于1，它对Y的需求量产生如何影响？为什么？

（2）该消费者对商品X的需求价格弹性大于1，它对Y的需求量产生如何影响？为什么？

（3）该消费者对商品X的需求价格弹性等于1，它对Y的需求量产生如何影响？为什么？[上海理工大学2005研]

答：（1）原来该消费者的消费处于均衡状态，设预算方程为P_X·X＋P_Y·Y＝M。现在商品X的价格下降为P_X1，由于需求价格弹性小于1，虽然商品X的购买力会增加到X₁，但消费者用于商品X的支出是减少的。这样，在收入M和价格P_Y不变的情况下，Y商品的购买量就会增加。

（2）原来该消费者的消费处于均衡状态，设预算方程为P_X·X＋P_Y·Y＝M。现在商品X的价格下降为P_X1，由于需求价格弹性大于1，商品X的购买力会增加到X₁，且消费者用于商品X的支出是增加的。这样，在收入M和价格P_Y不变的情况下，Y商品的购买量就会减少。

（3）原来该消费者的消费处于均衡状态，设预算方程为P_X·X＋P_Y·Y＝M。现在商品X的价格下降为P_X1，由于需求价格弹性等于1，所以消费者用于商品X的支出是不变的。这样，在收入M和价格P_Y不变的情况下，Y商品的购买量也不会变化。