1.2 检测系统的特性及性能指标
检测系统的输入量可分为静态量和动态量两类。静态量指稳定状态的信号或变化极其缓慢的信号。动态量通常指周期信号、瞬变信号或随机信号。无论静态量或动态量，检测系统的输出量都应当不失真地复现输入量的变化。这主要取决于检测系统的静态特性和动态特性。
1.2.1 静态特性及其指标
检测系统在被测量的各个值处于稳定状态时，输出量和输入量之间的关系称为静态特性。
通常，要求系统在静态情况下的输出与输入之间关系保持线性。在不考虑迟滞和蠕变效应时，输出量和输入量之间的关系可由下列方程式确定。
（1.3）
式中 Y——输出量；
X——输入量；
a0——零位输出；
a1——检测系统的灵敏度，常用K表示；
a2，a3，…，an——非线性项待定常数。
由式（1.3）可知，如果a0=0，表示静态特性通过原点。此时静态特性是由线性项（a1，X）和非线性项（a2 X2，…，anXn）叠加而成，一般可分为以下四种典型情况。
①理想线性[见图1.1（a）]
（1.4）
②具有X奇次阶项的非线性[见图1.1（b）]
（1.5）
③具有X偶次阶项的非线性[见图1.1（c）]
（1.6）
④具有X奇、偶次阶项的非线性[见图1.1（d）]
（1.7）
由此可见，除图1.1（a）为理想线性关系外，其余均为非线性关系。其中具有X奇次项的曲线图1.1（b），在原点附近一定范围内基本上是线性特性。
图1.1 检测系统的四种典型静态特性
实际应用中，若非线性项的方次不高，在输入量变化不大的范围内，用切线或割线代替实际的静态特性曲线的某一段，使系统的静态特性曲线接近于线性，这称为系统静态特性的线性化。在设计系统时，应将测量范围选取在静态特性最接近直线的一小段，此时原点可能不在零点。以图1.1（d）为例，如取ab段，则原点在c点。系统静态特性的非线性，使其输出不能成比例地反映被测量的变化，而且对动态特性也有一定影响。
检测系统的静态特性是在静态标准条件下测定的，标准条件是指没有加速度、振动、冲击（除非这些参数本身就是被测物理量）；环境温度一般为室温（20±5）℃；相对湿度不大于85%；大气压为（760±60）mmHg 
的情况。在标准工作状态下，利用一定精度等级的校准设备，对系统进行往复循环测试，
即可得到输出-输入数据。将这些数据列表，再画出各被测量值（正行程和反行程）对应输出平均值的连线，即为系统的静态校准曲线。
（1）线性度（非线性误差）
在规定条件下，系统校准曲线与拟合直线间最大偏差与满量程（F·S）输出值的百分比称为线性度，如图1.2所示。
图1.2 检测系统的线性度
用δL表示线性度，则
（1.8）
式中 ΔYmax——校准曲线与拟合直线间的最大偏差；
YF · S——系统满量程输出；
YF · S=Ymax-Y0。
由此可知，非线性误差是以一定的拟合直线或理想直线为基准直线算出来的。因而，基准直线不同，所得线性度也不同，如图1.3所示。
图1.3 基准直线的不同拟合方法
应当指出，对同一检测系统，在相同条件下做校准试验时得出的非线性误差不会完全一样。因而，不能笼统地说线性度或非线性误差，必须同时说明所依据的基准直线。目前，国内外关于拟合直线的计算方法不尽相同，下面仅介绍两种常用的拟合基准直线方法。
①端基法。把检测系统校准数据的零点输出平均值a0和满量程输出平均值b0连成直线a0 b0作为拟合直线，如图1.4所示。其方程式为
图1.4 端基线性度拟合直线
（1.9）
式中 Y——输出量；
X——输入量；
a0——Y轴上截距；
K——直线a0 b0的斜率。
由此得到端基法拟合直线方程，按式（1.8）可算出端基线性度。这种方法简单直观，但是未考虑所有校准点数据的分布，拟合精度较低，一般用在特性曲线非线性度较小的情况。
②最小二乘法。用最小二乘法原则拟合直线，可使拟合精度最高。其计算方法如下。
令拟合直线方程为Y=a0+KX。假定实际校准点有n个，在n个校准数据中，任一个校准数据Yi与拟合直线上对应的理想值a0+KX间线差为
（1.10）
最小二乘法拟合直线的拟合原则就是使
为最小值，亦即使对K和a0的一阶偏导数等于零，从而求出K和a0的表达式。
联立求解以上两式，可求出K和a0，即
（1.11）
（1.12）
式中 n——校准点数。
由此得到最佳拟合直线方程，由式（1.8）可算得最小二乘法线性度。
通常采用差动测量方法减小检测系统的非线性误差。如某位移传感器特性方程式为
Y1=a0+a1 X+a2 X2+a3 X3+a4 X4+…
另一个与之完全相同的位移传感器，但是它感受相反方向位移，则特性方程式为
Y2=a0-a1 X+a2 X2-a3 X3+a4 X4-…
在差动输出情况下，其特性方程式可写成
（1.13）
可见采用此方法后，由于消除了X偶次项而使非线性误差大大减小，灵敏度提高一倍，零点偏移也消除了。因此差动式传感器已得到广泛应用。
（2）灵敏度K
灵敏度是指检测系统在静态测量时，输出量的增量与输入量的增量之比的极限值，即
（1.14）
灵敏度的量纲是输出量的量纲和输入量的量纲之比。当某些检测装置或组成环节的输出和输入具有同一量纲时，常用“增益”或“放大倍数”来代替灵敏度。
对线性检测装置来说，灵敏度为
（1.15）
式中 θ——相应点切线与X轴向夹角。
式（1.15）表示线性测量装置的灵敏度为常数，可由静态特性曲线（直线）的斜率求得，直线斜率越大，其灵敏度越高，如图1.5（a）所示。对线性不太好的检测装置如图1.5（b）所示，则可用输出量与输入量测量范围
与
的比值来表示其平均灵敏度，即
（1.16）
式中，
；而Xi与Yi是X和Y的测量下限值，Xh与Yh是X和Y的测量上限值。
对于非线性检测装置，其灵敏度是变化的，如图1.5（c）所示。
图1.5 检测装置的灵敏度
一般希望检测装置的灵敏度K在整个测量范围内保持为常数。这样要求一方面有利于读数，另一方面便于分析和处理测量结果。
实际测量中，常用的还有相对灵敏度表示法。相对灵敏度Kr为输出变化量与被测量的相对变化率之比，即
（1.17）
（3）精度
在静态测量中，由于任何检测装置和测量结果都含有一定大小的误差，所以人们往往用误差来说明精度。
①绝对误差δ。绝对误差是检测装置示值X与被测量真值X0之间的代数差值，即
（1.18）
实际上，真值是未知的，通常只能用实际值（或约定真值）来代替真值，它是由高一级的计量标准所复现或高一级精度仪器测得的被测量值。绝对误差δ越小，说明示值越接近于真值，测量精度越高，但这一结论只适用于被测值相同的情况，而不能比较不同值的测量精度。
在校准或检定仪表时，常采用比较法，即对同一被测量，将标准表的示值X0（真值）与被校表的示值X进行比较，则它们的差值就是被校表示值的绝对误差。如果它是恒定值，则是系统误差，此时仪表的示值应加以修正，修正后才可得到被测量的实际值X0。即
（1.19）
式中 C——修正值或校正值。
修正值与示值的绝对误差数值相等，但符号相反，即
试验室用的标准表常由高一级的标准表校准，检定结果附带有示值修正表，或修正曲线C=F（x）。
②示值相对误差r（简称相对误差）。示值相对误差是检测装置示值绝对误差与真值X0之比值，常用百分数表示，即
（1.20）
当测量误差很小时，示值相对误差可近似用式（1.21）计算。
（1.21）
示值相对误差只能说明不同测量结果的准确程度，而不能用来评价检测仪表本身的质量。因为同一台检测仪表在整个测量范围内的相对测量误差不是定值，随着被测量的减小，相对误差也增大，当被测量接近于量程起始零点时，相对误差趋于无限大，故一般不应测量过小的量，而多用于测量接近上限的量，如2/3量程附近处。
③最大引用误差qmax（又称满量程相对误差）。检测仪表示值绝对误差δ与仪表量程L的比值，称之为仪表示值的引用误差q。引用误差常以百分数表示为
最大引用误差是检测仪表绝对误差（绝对值）的最大值与仪表量程L之比的百分数，即
（1.22）
最大引用误差是检测仪表基本误差的主要形式，故也常称之为仪表的基本误差。
④精度等级。仪表在出厂检验时，其示值的最大引用误差qmax不能超过其允许误差Q（以百分数表示）即
qmax≤Q
工业检测仪表常以允许误差Q作为判断精度等级的尺度。规定：取允许误差百分数的分子作为精度等级的标志，即用最大引用误差中去掉百分数（%）后的数字表示精度等级，其符号为G，则G=Q×100。工业仪表常见的精度等级见表1.1。
表1.1 工业仪表常见精度等级
（4）迟滞
迟滞是指在相同工作条件下作全测量范围校准时，在同一次校准中对应同一输入量的正行程和反行程其输出值间的最大偏差（见图1.6）。其数值用最大偏差或最大偏差的一半与满量程输出值的百分比表示。
（1.23）
图1.6 检测系统的迟滞特性
或 
（1.24）
式中 ΔHmax——输出值在正反行程间最大偏差；
δH——系统的迟滞。
迟滞现象反映了装置机械结构或制造工艺上的缺陷，如轴承摩擦、间隙、螺钉松动、元件腐蚀或积塞灰尘等。
（5）重复性
重复性是指在同一工作条件下，输入量按同一方向在全测量范围内连续变化多次所得特性曲线的不一致性（见图1.7）。数值上用各测量值正、反行程标准偏差最大值的两倍或三倍与满量程YF · S的百分比表示。即
图1.7 检测系统的重复性
（1.25）
式中 δk——重复性；
σ——标准偏差。
当用贝塞尔公式计算标准偏差σ时，则有
式中 Yi——测量值；
——测量值的算术平均值；
n——测量次数。
重复性所反映的是测量结果偶然误差的大小，而不表示与真值之间的差别。有时重复性虽然很好，但可能远离真值。
（6）其他静态性能指标
灵敏阈，又称死区，是指由于摩擦或游隙等影响引起的检测装置不响应的最大输入变化量，是衡量起始点不灵敏的程度。
分辨力，是指能引起输出量发生变化时输入量的最小变化量ΔX。它说明了检测装置响应与分辨输入量微小变化的能力。具有数字式显示器的测量装置，其分辨力是指最后一位有效数字增加一个字时相应示值的改变量，即相当于一个分度值。
测量范围，是指检测装置能够正常工作的被测量范围，即测量最小输入量（下限）至最大输入量（上限）之间的范围。
稳定性，是指在一定工作条件下，保持输入信号不变，输出信号随时间或温度变化而出现的缓慢变化程度。随时间变化而出现的漂移称为时漂；随环境温度变化而出现的漂移称之为温漂。如弹性元件的时效、电子元件的老化、放大线路的温漂、热电偶电极的污染等。
1.2.2 动态特性及其指标
检测系统的动态特性是指在动态测量时，输出量与随时间变化的输入量之间的关系。在分析系统动态特性时，常把一些典型信号作为输入信号，如阶跃信号、正弦信号等，而其他较复杂的信号均可以将其分解为若干阶跃信号或正弦信号之和。
（1）检测系统的动态误差
动态特性好的检测系统应具有很短的暂态响应和很宽的频率响应特性。由于检测系统中总是存在机械的、电气和磁惯性，从某种程度上说，任何实际的检测系统都不可能精确地响应变化中的输入信号。也就是说，系统输出信号不会与输入信号具有相同的时间函数，即存在动态误差。
在静态灵敏度K=1的情况下，检测系统的动态误差是输出信号与其相应的输入信号之差，可表示为
（1.26）
①稳态误差。动态误差中只与系统特性参数有关而与时间无关的那一部分误差称为系统的稳态误差。即使时间趋于无穷大，稳态误差也依然存在。
②瞬态误差。动态误差中与时间有关的那一部分误差称为系统的瞬态误差。一般来说，当时间趋于无穷大时，瞬态误差趋于零。
（2）常见检测系统的动态特性
常见检测系统多为零阶、一阶或二阶系统。在动态特性分析中，灵敏度K仅起使输出相对输入放大K倍作用。因此，为方便起见，在
阐述零阶、一阶和二阶系统动态特性时均取
（1.27）
①零阶系统的动态特性。在零阶系统中，对照式（1.1）只有a0与b0两个系数，于是微分方程为
或
（1.28）
式中 K——静态灵敏度。
式（1.28）表明，零阶系统的输入量无论随时间如何变化，其输出量幅值总是与输入量成确定的比例关系。时间上不滞后，幅角ψ等于零。如图1.8所示，电位器式传感器就是典型零阶系统。
图1.8 线性电位器
设电位器的阻值沿长度L是线性分布的，则输出电压USC和电刷位移之间的关系为
（1.29）
式中 USC——输出电压，V；
USR——输入电压，V；
x——电刷位移，m。
由式（1.29）可知，输出电压USC与位移x成正比，它对任何频率输入均无时间滞后。在实际应用中，许多高阶系统在变化缓慢、频率不高时，都可以近似地当作零阶系统处理。
②一阶系统的动态特性。这时在式（1.1）中除系数a1，a0，b0外，其他系数均为零，因此可写为
上式两边各除以a0，得到
（1.30）
式中 K——
，为静态灵敏度；
τ——
，为时间常数。
如果系统中含有单个储能元件，则在微分方程中出现Y的一阶导数，便可用一阶微分方程式表示。
如图1.9所示使用不带保护套管的热电偶插入恒温水浴中进行温度测量。根据能量守恒定律可列出如下方程组。
图1.9 一阶测温传感器
（1.31）
式中 m1——热电偶质量，kg；
c1——热电偶比热容，J/（kg·K）；
T1——热接点温度，K；
T0——被测介质温度，K；
R1——介质与热电偶之间热阻，K/J；
q01——介质传给热电偶的热量（忽略热电偶本身热量损耗），J。
将式（1.31）整理后得
式中 τ1——时间常数。
则上式可写为
（1.32）
式（1.32）是一阶线性微分方程。如果已知T0的变化规律，求出微分方程式（1.32）的解，就可以得到热电偶对介质温度的时间响应。
在正弦输入时，由式（1.2）可求出其传递函数G（s）为
（1.33）
而一阶系统的频率特性为
（1.34）
幅频特性为
（1.35）
相频特性为
（1.36）
在相频特性表达式中，负号表示相位滞后。由频率特性公式可以看出，时间常数τ越小，系统频率特性越好。在上述热电偶测温系统中，要想减小τ1，就要求系统热阻R1、热电偶质量m1、比热容c1越小越好。
通常描述检测系统动态性能指标的方法是给系统输入一个阶跃信号，并给定初始条件，求出系统微分方程的特解，以此作为动态特性指标的描述和表示法。
对单位阶跃输入，即
（1.37）
由一阶微分方程式（1.30），令K=1可以解出一阶系统阶跃响应为
（1.38）
响应曲线如图1.10所示。它说明系统的实际输出量是按指数规律上升至最终值的（稳态输出值）。而理想的响应是应该得到阶跃输出，因此，一阶系统的动态误差为
图1.10 一阶系统的阶跃响应曲线
并随着时间的增加按指数规律衰减，当t=τ，2τ，3τ，4τ，输出量仅为稳态输入量的63.2%，86.5%，95%，98.2%。当t➝∞，εX（t）➝0。
时间常数τ是按指数规律上升至最终值的63.2%所需的时间，时间t=0时，响应曲线的初始斜率为1/τ，要使斜率大，即减小动态误差，就要求τ值小。所以一阶系统的时间常数越小，响应越快。
③二阶系统的动态特性。对于二阶系统，参照式（1.1）微分方程系数除a2，a1，a0和b0外，其他系数均为零，因此，可写为
整理后，得
（1.39）
式中 K——，为静态灵敏度；
ω0——
，为无阻尼系统固有频率；
ξ——
，为阻尼比。
上述三个量K，ω0，ξ为二阶系统动态特性的特征量。
图1.11所示为带保护套管式热电偶插入恒温水浴中的测温系统。根据热力学能量守恒定律列出方程
（1.40）
图1.11 二阶测温传感器
式中 T0——介质温度，K；
T1——热接点温度，K；
T2——保护套管温度，K；
m2 c2——套管比热容，J/K；
R1——套管与热电偶间的热阻，K/J；
R2——被测介质与套管间的热阻，K/J；
q02——介质传给套管的热量，J；
q01——套管传给热电偶的热量，J。
由于R1≫R2，所以q01可以忽略。式（1.40）经整理后得
令τ2=R2 m2 c2，则得
（1.41）
同理，令τ1=R1 m1 c1，则得
（1.42）
联立式（1.41）和式（1.42），消去中间变量T2，便得到此测量系统的微分方程式
（1.43）
令
将ω0和ξ代入式（1.43），则得
（1.44）
由式（1.44）可知，带保护套管的热电偶是一个典型的二阶测温系统。
当正弦输入时，由式（1.2）可求得其传递函数G（s）为
（1.45）
频率特性为
（1.46）
幅频特性
（1.47）
相频特性
（1.48）
二阶系统频率特性如图1.12所示。从式（1.47）可知幅频特性A（ω）随ω/ω0及阻尼比ξ的变化而变化。在一定ξ值下A（ω）与ω/ω0之间关系如图1.12（a）所示，由图中可得如下结论。
图1.12 二阶系统
①当ω/ω0≪1时测量动态参数和静态参数是一致的。
②当ω/ω0≫1时A（ω）接近零，而ψ（ω）接近180°。即被测参数的频率远高于其固有频率时，测量系统没有响应。
③当ω/ω0=1，且ξ➝0时，系统出现谐振，即A（ω）有极大值。其结果使输出信号波形的幅值和相位都严重失真。
④阻尼比ξ对频率特性有很大影响。ξ增大，幅频特性的最大值逐渐减小。当ξ>1时，幅频特性曲线是一条递减的曲线，不再有凸峰出现。由此可见，幅频特性平直段宽度与ξ密切相关。当ξ≈0.7时，幅频特性的平直段最宽。
当输入阶跃信号时，通过求解二阶系统的数学模型可以得到输出响应Y（t），如图1.13所示。按阻尼比ξ不同，阶跃响应可分为如下三种情况。
①欠阻尼ξ<1
（1.49）
式中 
②过阻尼ξ>1
（1.50）
③临界阻尼ξ=1
（1.51）
以上三种阶跃响应曲线如图1.13所示。由图可知，只有ξ<1时，阶跃响应才出现过冲，超过了稳态值。式（1.49）表明欠阻尼情况下系统振荡频率为
，ωd为有阻尼时系统固有频率。在实际应用中，为了兼顾有短的上升时间和小的过冲量，阻尼比ξ一般取为0.7左右。
图1.13 二阶系统的阶跃响应
二阶系统阶跃响应的典型性能指标如图1.14所示。
图1.14 二阶系统表示动态性能指标的阶跃响应曲线
有阻尼自然振荡周期Td：
，ωd为有阻尼系统固有频率。
上升时间tr 输出由稳态值的10%变化到稳态值的90%所用的时间。二阶系统中tr随ξ的增大而增大，当ξ=0.7时，
。
稳定时间ts 系统从阶跃输入开始到系统稳定在稳态值的给定百分比时所需的最小时间。对稳态值给定百分比为±5%的二阶系统，在ξ=0.7时，ts最小（=3/ω0）。
tr，ts都是反映系统响应速度的参数。
峰值时间tp 阶跃响应曲线达到第一个峰值所需时间。
。
超调量σ% 通常用过渡过程中超过稳态值的最大值ΔA（过冲）与稳态值之比的百分数表示。σ%与ξ有关，ξ越大，σ%越小，其关系可用下式表示为
（1.52）
同时可求得
（1.53）
总之，只要从二阶系统阶跃响应特性曲线中求出其特征量ωd、峰值时间tp、超调量σ%，由式（1.52）及式（1.53）可进一步计算出二阶系统的特性参数ξ和ω0。