命题I.9

一个角可以切分成两个相等的角。

设：已知∠BAC，要求二等分这个角。

在AB边上任取一点D，在AC边上取一点Ε，使AΕ＝AD（命题I.3），连接DΕ，以DΕ为一边作等边三角形DΕF，连接AF。

求证：∠BAC被射线AF平分。

因为，AD等于AΕ，AF为公共边，那么：DA、AF分别对应ΕA、AF并相等。

边DF等于边ΕF；于是∠DAF等于∠ΕAF（命题I.8）。

所以：∠BAC被射线AF平分。

所以：一个角可以切分成两个相等的角。

证完

四面体小行星

这颗小行星是一个正四面体，呈现在我们眼前的是它的其中两个表面。可以看到几乎每一寸土地都得到利用，上面密布了房屋、高塔、桥梁、台阶、花木、人工湖泊和小船；除了形状不同外，其余的情况和地球几乎毫无二致。在作此画时，埃舍尔将两幅草稿拼贴在一起，在面与面的接合处尽量画成直角，以反映四面体的棱线。埃舍尔从事物的数学特性中发掘美，创造出空前绝后的奇妙之作。

注解

构图步骤

当用圆规和直尺构造这一图形时，要求作出三个圆和一个最后的切分线。其中一个圆以A点为圆心、AD为半径，以决定点Ε。另外的两个圆分别以D和Ε为圆心并以DΕ为公共半径。等边三角形在这里实际上是不需要的。

角的三等分

使用欧几里得的直尺和圆规，二等分一个角是容易的，二等分线段也是容易的（参见命题I.10），将线段分成任意数量的相等部分也不那么困难（参见命题I.9），但是将一个角分成相等的奇数部分，就不容易了。事实上，使用欧几里得的工具，就不可能把一个60°的角三等分。欧几里得之前的数学家们为此使用了各种各样的方法，但未成功；欧几里得以后的阿基米德创造了螺旋线，才能将角划分成任意部分，三等分角也就成为可能。人们相信使用欧几里得工具根本就不可能三等分角，但直到1833年，这一疑惑才被数学家旺泽尔所证明。

命题的应用

这一命题被利用在下一命题中，也用在卷4、6、13的数个命题中。