命题I.17

任意一个三角形，其两内角的和总小于两个直角（180°）。

设：ABC为任意三角形。

求证：三角形ABC中任意两内角的和总小于两个直角（180°）。

令：延长BC至D（公设I.2）。

因为∠ACD是三角形ABC的外角，那么：它大于内角∠ABC（命题I.16）。

令：∠ACB与各角相加。于是：∠ACD、∠ACB的和大于∠ABC、∠BCA的和。

可是∠ACD、∠ACB的和等于两个直角（命题I.13）。所以：∠ABC、∠BCA的和小于两个直角。

同理可证：∠BAC、∠ACB的和也小于两个直角，∠CAB、∠ABC亦同理。

所以：任意一个三角形，其两内角的和总小于两个直角（180°）。

证完

古法七乘方图

造一个数的三角形排列如下：顶上放1，下面放两个1，再下一行将两个1重复一遍，使得这一行的末尾也都是1，而第三行是1、2、1。每一次将两个数相加，得数放在下方，于是得出第四行1、3、3、1。这就是朱世杰在《四元宝鉴》中展示的帕斯卡三角形的模样，该书写于帕斯卡出生前三个世纪。

注解

本命题陈述外角∠ACD大于内角∠ABC。如果每个角加上∠ACB，那么∠ACD与∠ACB之和大于∠ABC与∠BCA之和。

其量值关系为：

如果x＞y，那么x＋z＞y＋z。

这一关系式并未列入公理之中。这一命题在命题I.32再次得以强调，命题I.32陈述，在一个三角形中三个角之和等于两个直角。

本命题应用在III.16中，也应用在卷3、6、11的一些命题中。