命题I.45

作一平行四边形使其内角等于一给定角，面积等于给定的多边形的面积。

设：ABCD为给定的多边形，∠Ε为给定的角。

求作：作一平行四边形，使其面积等于多边形ABCD的面积，并满足内角等于∠Ε的条件。

连接DB，设要作的等于三角形ABD的面积的平行四边形是FKHG，其中∠HKF等于∠Ε（公设I.1，命题I.42、I.44）。

因为：∠Ε等于∠HKF，也等于∠GHM。

所以：∠HKF也等于∠GHM（公理I.1）。

每个角加上∠KHG，于是：∠FKH与∠KHG之和等于∠KHG与∠GHM之和（公理I.2）。

又，∠FKH与∠KHG之和等于两个直角的和，所以：∠KHG与∠GHM之和也等于两个直角（公理I.1）。

于是：用一条线段GH及它上面的一点H，不在它同侧的两线段KH、HM作成相邻的两角的和等于二直角（命题I.14）。

因为直线HG与平行线KM和FG相交，所以：两内错角∠MHG与∠HGF相等（命题I.29）。

∠HGL与每个角相加，于是：∠MHG与∠HGL之和等于∠HGF与∠HGL之和（公理I.2）。

又，∠MHG与∠HGL之和等于两个直角，所以：∠HGF与∠HGL之和等于两个直角。所以：FG与GL在同一直线上（命题I.29、I.14）。

因为FK等于且平行于HG，而HG等于且平行于ML，所以：KF也等于且平行于ML。又，线段KM和FL连接了它们的端点，所以：KM与FL也相等且平行。

所以：KFLM是一个平行四边形（命题I.34、I.30、I.33）。

因为三角形ABD的面积等于平行四边形FKHG的面积，且三角形DBC的面积等于平行四边形GHML的面积，所以：总多边形ABCD的面积等于总平行四边形KFLM的面积（公理I.2）。

所以：平行四边形KFLM被作出，它等于给定的多边形ABCD的面积，且∠FKM等于给定∠Ε。

所以：可作一平行四边形使其内角等于一给定角，面积等于给定的多边形的面积。

证完

注解

本命题很好地解决了什么是直线图形的面的问题。但什么是圆的面呢？在《原本》中未得到解决。

本命题应用在命题II.14、VI.25、XI.32中，在命题XI.32中，用来作不同平面。