命题II.13

锐角三角形中，锐角所对应的边上的正方形的面积小于夹锐角两边为边的正方形的面积之和，其差为一个矩形的两倍，即由另一锐角向对边作垂线，垂足到原锐角之间的一段与该边所构成的矩形。

设：ABC为锐角三角形，B角为锐角，过A点作AD垂直于BC（命题I.12）。

求证：以AC为边的正方形的面积小于以CB、BA为边的正方形的面积之和，其差为CB、BD构成的矩形的两倍。

因为：CB被任意一点D所切分，以CB、BD为边的正方形的面积之和等于以CB、BD为边的矩形的两倍加上DC上的一个正方形（命题II.7）。

令以上每个加上以AD为边的正方形的面积，于是：分别以CB、BD、DA为边的正方形的面积之和等于以CB、BD为边的矩形的两倍加上AD、DC为边的正方形的面积之和。

又，以AB为边的正方形的面积等于分别以BD、DA为边的正方形的面积之和，因为：在D点的角是直角，且以AC为边的正方形的面积等于分别以AD、DC为边的正方形的面积之和。

所以：分别以CB、BA为边的正方形的面积之和等于以AC为边的正方形的面积加上以CB、BD为边的矩形的两倍。所以：以AC为边的正方形的面积小于分别以CB、BA为边的正方形的面积之和，其差为以CB、BD为边的矩形的两倍（命题I.47）。

所以：在锐角三角形中，锐角所对应的边上的正方形的面积小于夹锐角两边为边的正方形的面积之和，其差为一个矩形的面积的两倍，即由另一锐角向对边作垂线，垂足到原锐角之间的一段与该边所构成的矩形。

证完