命题II.14

根据一个多边形，可以作一个与它面积相等的正方形。

设：A为给定的多边形。

现在要求的是：作一个正方形，其面积等于给定的多边形A的面积。

令：作矩形BCDΕ，使之等于图形A的面积（命题I.45）。

如果BΕ等于ΕD，那么该正方形BD满足于A。如果不是，而是BΕ和ΕD中，其中有一条直线比另一条线长，假定BΕ是较长的线；延长BΕ至F，使ΕF等于ΕD；在BF上取其平分点G，以G为圆心、GB或GF为半径作半圆BHF；延长DΕ至H，连接GH。

那么：既然直线BF在G点上被平分，Ε点则为非平分点，以BΕ、ΕF为边的矩形与以ΕG为边的正方形的面积之和等于以GF为边的正方形的面积（命题I.5）；而GF等于GH。

所以：BΕ、ΕF为边构成的矩形与以ΕG为边的正方形的面积之和等于以GH为边的正方形面积。

而分别以HΕ、ΕG为边的正方形的面积的和等于以GH为边的正方形面积，所以，BΕ、ΕF为边构成的矩形与以ΕG为边的正方形的面积之和等于分别以HΕ、ΕG为边构成的正方形的面积之和（命题I.47）。

令：分别减去以ΕG为边的正方形的面积。

那么：余下的包含有BΕ、ΕF为边的矩形的面积也等于以HΕ为边的正方形的面积。

又，因为ΕF等于ΕD，于是：以BF、ΕF为边的矩形的面积等于BCDΕ的面积，平行四边形BCDΕ的面积等于以HΕ为边的正方形的面积。而BCDΕ的面积等于多边形A的面积，于是：多边形A的面积也就等于以ΕH为边的正方形的面积。

于是：以ΕH为边，其大小等于多边形A的面积的正方形被作出。

所以：根据一个多边形，可以作一个与它面积相等的正方形。

证完