§1.5　克莱姆（Cramer）法则

通过本节的学习，学生应了解线性方程组的基本概念，会用克莱姆法则解线性方程组.

在中学代数中我们学习过二元和三元线性方程组求解的问题，本节来学习一种求解n元线性方程组的方法.首先介绍线性方程组的基本概念.

1.5.1　线性方程组的基本概念

从实际问题导出的线性方程组通常含有很多个未知量和很多个方程，它的一般形式为

其中x1，x2，…，xn是未知量，aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）是未知量的系数，b1，b2，…，bm称为常数项或方程的右端，这里m与n未必相等.

线性方程组（1）的解是指这样的一组数k1，k2，…，kn，当用它们依次替换方程组

（1）中的未知量x1，x2，…，xn时，方程组中的每个方程都成立.

如果b1=b2=…=bm=0，则线性方程组（1）变成

线性方程组（1）称为非齐次线性方程组，线性方程组（2）称为（1）的对应齐次线性方程组.

显然，x1=0，x2=0，…，xn=0是齐次线性方程组（2）的解，并称为（2）的零解.

当m=n时，线性方程组（1）变成

称为n阶线性方程组.

在n阶线性方程组（3）中，它的系数aij（i，j=1，2，…，n）组成的

称为线性方程组（3）的系数行列式.

下面介绍一种求解n阶线性方程组的方法——克莱姆（Cramer）法则.

1.5.2　克莱姆（Cramer）法则概述

定理　（克莱姆法则）如果线性方程组（3）的系数行列式D ≠0，即D =，则线性方程组（3）有唯一解D，其中Dj（j=1，2，…，n）是把系数行列式D中的第j列元素对应换为常数项b1，b2，…，bn，即

例1　求解线性方程组

解　系数行列式

所以方程组有唯一解，而

由克莱姆法则得， .

当线性方程组（3）的行列式为零的时候，会出现两种情况：一是无解；二是无穷多解.对于这种情况的详细讨论将在第3章进行.

对于n阶齐次线性方程组而言，有下面两个推论.

推论1　若齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则方程组只有零解.

推论2　若齐次线性方程组有非零解，则系数行列式D=0

例2　判断方程组有零解还是有非零解？

解　由于系数行列式

所以方程组只有零解.

例3　已知有非零解，求k.

解　因为方程组的系数行列式为，由推论2知，

它的系数行列式D=0，即（k+2）（k-1）2=0，故k=1或k=-2.

注意　克莱姆法则只能应用于n个未知数n个方程并且系数行列式不等于零的线性方程组.又由于需要计算n+1个n阶行列式，计算量较大，在求解未知量较多的方程组时，克拉姆法则不太具有实用价值.在这一意义上来说，克拉姆法则仅具有理论上的意义.

习题1.5　

1.用克莱姆法则解下列方程组：

（1）；　　（2）.

2.λ取何值时，下列齐次线性方程组有非零解？

（1）　　（2）

3.k取什么值时，齐次线性方程组仅有零解？