§2.2　矩阵的运算

通过本节的学习，学生应掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置及它们的运算法则，了解方阵的方幂和方阵乘积的行列式.

矩阵的意义不仅在于把一些数据按一定的顺序排列成表，而且还在于对它定义了一些运算，从而使它成为进行理论研究和解决实际问题的重要工具.本节将介绍矩阵的加法、矩阵与数的乘法、矩阵与矩阵的乘法以及矩阵的转置等运算.

2.2.1　矩阵的加法

例1　某工厂生产甲、乙、丙三种产品，各种产品每月所需各类成本（单位：万元）

三种产品每月所需的各类成本可列成如下矩阵：

这样甲、乙、丙三种产品2016年5月、6月两个月所用各类产品成本的和可以表示成矩阵

我们把矩阵C称为矩阵A与矩阵B的和矩阵.

定义1　设矩阵

为同型矩阵，则矩阵

称为矩阵A与矩阵B的和，记作C=A+B.

注意　两个矩阵只有在同型的情况下才能相加.

矩阵的加法满足下列运算律：（设A，B，C都是m×n矩阵）

（1）交换律A+B=B+A；

（2）结合律（A+B）+C=A+（B+C）.

显然　　　　　A+O=A.

设矩阵A=（aij）m×n，称矩阵（-aij）m×n为A的负矩阵，记作-A，即

-A=（-aij）m×n.

显然有

A+（-A）=O.

由此规定矩阵的减法为

A-B=A+（-B）

例2　求矩阵X，使A=B+X，其中

解　X=A-B

2.2.2　数与矩阵的乘法

例3　在例1的问题中，由于进行了各项改进，甲、乙、丙三种产品在6月的各类成本都降为5月的70％，这时6月的各类成本可用矩阵表示为

我们把C称为数0.7与矩阵A的乘积.

定义2　设A=（aij）m×n，λ是数，称

为数λ与矩阵A的乘积，简称数乘.简记为λA= λ（aij）m×n.

数乘矩阵运算满足下列的运算律：（设A，B都是m×n矩阵，λ，μ是数）

（1）结合律（λμ）A=λ（μA）；

（2）分配律（λ+μ）A=λA+μA；λ（A+B）=λA+λB；

（3）1A=A；（-1）A=-A；

（4）若λA=O，则λ=0或A=O.

注意　矩阵的加法和矩阵数乘统称为矩阵的线性运算.

例4　设，且有2A+X=B-2X，求X.

解　由2A+X=B-2X得

所以.

2.2.3　矩阵的乘法

定义3　设A=（aik）m×s，B=（bkj）s×n，则矩阵C=（Cij）m×n为矩阵A与B的乘积，其中并把此乘积记为

C=AB.

注意　（1）只有左边矩阵A的列数等于右边矩阵B的行数时，A与B才能相乘，且乘积矩阵C的行数等于A的行数，列数等于B的列数，即Am×sBs×n=Cm×n.

（2）AB=C的第i行第j列位置上的元素cij就是A的第i行与B的第j列对应元素乘积的和，即

按定义，一个1×n行矩阵与一个n×1列矩阵的乘积为一个1阶方阵，它是一个数.

例5　设A=（a1，a2，…，an），，求AB与BA.

解　

例6　设，求AB.

注意　这里BA是无法计算的.

例7　设，求AB及BA.

解　；

例8　设，求AB及AC.

解；

但是B≠C.

由上述例子可知：

（1）一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律.因为AB与BA可能一个有意义，一个没有意义；也可能二者都有意义，但AB≠BA.当AB=BA时，称A与B是可交换的.

由定义可知，EA=AE=A，BE=EB=B，即单位矩阵和任何矩阵都可交换.

（2）矩阵中存在A≠O，B≠O，有BA=O；反之，BA=O，不一定有A=O或B=O.

（3）矩阵乘法不满足消去律，即AB=AC，且A≠O，不能导出B=C.

矩阵的乘法运算满足下列的运算律：（假定运算是可行的，λ是数）

（1）结合律A（BC）=（AB）C；

（2）分配律A（B+C）=AB+AC；（A+B）C=AC+BC；

（3）数乘结合律λ（AB）=（λA）B=A（λB）.

例9　证明n阶数量矩阵与所有n阶方阵都可交换.

证明　设n阶数量矩阵为，

又设

则

同样可得AK=kA，所以有AK=KA，即n阶数量矩阵与n阶方阵可交换.

有了矩阵的乘法，就可以定义方阵的幂.

定义4　设A是n阶方阵，k是正整数，定义

A1=A，A2=AA，…，Ak=AAk-1.

即Ak是k个A的连乘积.

特别规定，A0=E.

由于乘法分配律和结合律成立，所以关于方阵的幂满足以下运算规律：

（1）AλAμ=Aλ+μ；

（2）（Aλ）μ=Aλμ.

注意　由于矩阵乘法不存在交换律，故一般情况下（AB）λ≠AλBλ（A，B为n阶方阵）

例10　计算，

解　设

则，

假设，

则

于是由归纳法知，对于任意正整数n，有

设f（x）=a0xm+a1xm-1+…+am-1x+am为m次多项式，A为n阶方阵，则f（A）=a0Am+a1Am-1+…+am-1A+amE，

仍为一个n阶方阵，称为方阵多项式.

例11　设，求f（A）.

解　

f（A）=A2-2A-3E

在矩阵运算中公式（A+B）（A-B）=A2-B2；（A+B）2=A2+2AB+B2未必成立（为什么？），这是在运算中需要特别注意的.

2.2.4　矩阵的转置

1.转置矩阵

定义5　设A=（aij）m×n是一个m×n矩阵

把矩阵A的行与列互换，得到一个n×m矩阵，称此矩阵为A的转置矩阵，记作AT，即

或简记为AT=（aji）n×m.

例如，设，则.

矩阵的转置也是一种运算，满足以下运算律（假设运算都是可行的）：

（1）（AT）T=A；

（2）（A+B）T=AT+BT；

（3）（kA）T=kAT；

（4）（AB）T=BΤAT

证明　我们仅证明性质（4），其余证明读者自行完成.

设A=（aij）m×s，B=（bij）s×n，记AB=C=（cij）m×n，BTAT=D=（dij）n×m，于是按矩阵乘法公式

而BT的第i行为（b1i，…，bsi），AT的第j列为，因此

即D=CT，亦即BTAT=（AB）T.

性质（4）可以推广到有限多个矩阵相乘，即有

例12　已知，求（AB）T.

解法1　

所以

解法2　

2.对称矩阵和反对称矩阵

定义6　设A=（aij）是n阶方阵，若满足

aij=aji（i，j=1，2，…，n），

则称A为对称矩阵.

显然，对称矩阵的特点是：它的元素是以对角线为对称轴，对应元素相等

例如均为对称矩阵.

定义7　设A=（aij）是n阶方阵，若满足

aij=-aji（i，j=1，2，…，n），

则称A为反对称矩阵.

反对称矩阵的特点是：

（1）它的元素以对角线为对称轴，对应元素互为相反数；

（2）对角线上的元素为零，即aii=0（i=1，2，…，n）.

例如均为反对称矩阵.

例13　证明：任一n阶矩阵都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和.

证明　设A为n阶矩阵.

因显然是对称矩阵是反对称矩阵，所以结论成立.

2.2.5　方阵的行列式

定义8　由n阶方阵

所确定的行列式

称为n阶方阵A的行列式，记为|A|或detA.

注意　方阵与行列式是两个不同的概念，n阶方阵是n2个数按一定的方式排成的数表，而n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数.

方阵A的行列式|A|满足下列的运算规律：（A，B均为n阶方阵）

（1）|AT|=|A|；

（2）|λA|=λn|A|（λ是数）；

（3）|Aλ|=|A|λ；

（4）|AB|=|A||B|.

证明　我们仅证明性质（4），其余证明读者自行完成.

设A=（aij）n×n，B=（aij）n×n，AB=C=（cij）n×n，其中

考虑2n阶行列式

根据第1章可得，D=|A||B|.另一方面

综上即得|AB|=|A|B|

显然，若A1，A2，…，Am为n阶方阵，则|A1A2…Am|=|A1||A2|…|Am|.

例14　设|A|=3，且AB+2E=O，E为2阶单位阵，求|B|.

解　由AB+2E=O，得

AB=-2E

所以　　　　　　|AB|=|-2E|，

|A||B|=（-2）2|E|=4，

因此

习题2.2　

1.设

（1）求3A-B；

（2）若X满足X-A=2B，求X；

（3）若X满足2A-X+2（B-X）=O，求X.

2.计算下列矩阵的积：

3.已知矩阵

求：（1）AB，BA；（2）（A+B）（A-B）；（3）A2-B2；（4）（AB）T，ATBT.

4.设矩阵.

求：（1）|A|；（2）|-2A|；（3）|3A-2B|.

5.计算（其中n为正整数）：

6.设A是n阶矩阵，且AAT=E，|A|=1，n为奇数，求|E-A|.

7.设有n阶矩阵A与B，证明（A-B）（A+B）=A2-B2的充分必要条件是AB=BA.

8.设n阶矩阵A，B满足A2=A，B2=B，（A+B）2=A+B，证明AB=O.

9.（1）设f（x）=x2-5x+3，求f（A）.

（2）设f（x）=x2+x-1，求f（A）.