§1.3　行列式的性质

通过本节的学习，学生应掌握行列式的性质，用应用行列式的性质计算行列式的值.

当行列式的阶数较高时，利用定义计算行列式相当麻烦，为了简化行列式的计算，需要研究行列式的一些性质.

1.3.1　行列式的性质概述

性质1　将行列式的行、列互换，行列式的值不变.

如果，则DΤ=D.

其中行列式DΤ称为D的转置行列式.

注意　这一性质表明行列式中行与列的地位是对称的，也就是说凡是行列式对行成立的性质，对列也是成立的.

性质2　互换行列式的两行（列），行列式的值仅改变符号.

即.

推论1　如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零.

性质3　以数k乘行列式的某一行（列）中的所有元素，等于用k去乘以此行列式.

即

由性质3可得下面的推论：

推论2　行列式一行（列）的所有元素的公因子可以提取到行列式的外面.

推论3　如果行列式中有一行（列）的元素全为零，则此行列式值为零.

推论4　如果行列式中有两行（列）的对应元素成比例，则此行列式值为零.

性质4　如果行列式的某一行（列）的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两行列式之和.如果

则D=D1+D2.

推论5　如果行列式的某一行（列）的所有元素都是n个数的和组成，则此行列式等于n个行列式之和.即

性质5　把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变.

例如，以数k乘第i行加到第j行上，当i≠j时，有

通常用ri+krj表示第j行的k倍加到第i行后取代原来的第i行，用ci+kcj表示第j列的k倍加到第i列后取代原来的第i列.

1.3.2　利用行列式性质计算行列式

例1　计算行列式

解　

例2　计算行列式

解　

例3　计算行列式

解　

例4　解方程

解　由于

于是原方程为5（x-4）（x+5）=0，解得x1=4，x2=-5.

例5　计算n阶行列式

解　把行列式的所有列乘1都加到第1列上得

=[a+（n-1）b]（a-b）n-1.

例6　计算n+1阶行列式

解　这是个“箭形”行列式，为了将其变成上三角形行列式，通常可以把行列式的第2列，第3列，…，第（n+1）列都加到第1列得

习题1.3　

用行列式性质计算下列行列式：

（1）　　（2）　　（3）