7.2.3 绝对收敛和条件收敛

现在讨论一般常数项级数的敛散性，其中un（n=1,2,…）是任意实数.

定义7.4 如果级数 各项的绝对值所构成的正项级数 收敛，则称级数绝对收敛；如果级数收敛，而级数 条件收敛.发散，则称级数

例如级数和级数，由莱布尼茨定理易知这两个级数是收敛的，它们的绝对值级数分别为和，而级数收敛，发散，所以级数绝对收敛，级数条件收敛.绝对收敛和条件收敛是任意项级数收敛的两种不同方式，级数绝对收敛与级数收敛有以下重要关系.

定理7.8 若级数绝对收敛，则级数一定收敛.

证明 令

显然vn≥0且vn≤|un|（n=1,2,…）.因级数 收敛，故由比较审敛法知道，级数收敛，从而级数也收敛.而un=2vn－|un|，由收敛级数的基本性质可知

所以级数收敛.

注 对于任意项级数，如果我们用正项级数审敛法判定级数收敛，那么此级数一定收敛，这就使一大类级数的敛散性判定问题，转化成正项级数的敛散性判定问题.

例7.17 证明：当λ＞1时，级数绝对收敛.

证明 因为，当λ＞1时，收敛，故级数收敛，从而级数绝对收敛.

一般来说，如果级数发散，我们不能断定级数也发散.但是，如果我们用比值审敛法（或根值审敛法）判定级数发散，那么我们可以断定级数必定发散.这是因为从ρ＞1可以推知，从而，因此级数发散.

例7.18 判别级数的敛散性.

解 由，有，可知，因此

级数发散.