§1.1　预备知识

通过本节的学习，学生应了解和号、积号的表示形式及意义，会求排列的逆序数及判断排列的奇偶性.

1.1.1　和号和积号

1.和号

符号表示a1，a2，…，an的连加和.

其中i称为下标，下标是虚拟变量，可由任意字母替代，如

在本课程中，我们还要采用双重和号，如

表示m·n个数aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）的连加和.

2.积号

符号，表示a1，a2，…，an的连乘积.

再如，符号

表示所有可能的（xi-xj）（i>j）的连乘积.

1.1.2　排列及其性质

在n阶行列式的定义中，要用到n级排列的一些性质，先介绍排列的定义.

定义1　由自然数1，2，3，…，n组成的一个无重复有序数组i1，i2，…，in称为一个n级排列.

例1　由自然数2，3，4可组成几级排列？分别是什么？

解　可以组成三级排列，它们是234，243，324，342，423，432.

显然，三级排列共有3！ =6个，所以n级排列的总数为n！个.

定义2　在一个n级排列i1，i2，…，in中，如果较大数is排在较小数it之前，即is>it，则称这一对数isit构成一个逆序，一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数.可表示为τ（i1，i2，…，in）.

例2　求τ（21534），τ（32541）.

解　在五级排列21534中，构成逆序数对的有21，53，54，因此τ（21534）=3.

在五级排列32541中，构成逆序数对的有32，31，21，54，51，41，因此τ（32541）=6.

定义3　如果排列i1，i2，…，in的逆序数为偶数，则称它为偶排列；如果排列的逆序数为奇数，则称它为奇排列.

例3　试求τ（123…n）τ（n（n-1）…321），并讨论其奇偶性.

解　易见在n阶排列1，2，3，…，n中没有逆序，所以τ（123…n）=0，这是一个偶排列，它具有自然顺序，故又称自然排列.

在n，n-1，…，3，2，1中，只有逆序，没有顺序，故有

可以看出，排列n，n-1，…，3，2，1的奇偶性与n的取值有关，当n=4k或n=4k+1时这个排列为偶排列，否则为奇排列.

定义4　排列i1，i2，…，in中，交换任意两数it与is的位置，称为一次交换，记为（is，it）.如.一般地，我们有以下结论.

定理1　任意一个排列经过一次对换后，改变其奇偶性.（证明略）

定理2　在全部n级排列中（n≥2），奇偶排列各占一半.（证明略）

习题1.1　

1.求下列排列的逆序数，并说明它们的奇偶性：

（1）41253；　　（2）3712456；　　（3）57681234；　　（4）796815432.

2.确定i和j的值，使得9级排列满足以下条件：

（1）1274i56j9成偶排列；　　（2）3972i15j4成奇排列.