2.1.1　常微分方程

微分方程是联系自变量、未知函数及其导数的关系式。如果微分方程的未知函数（）只含有一个自变量（如时间或空间），则此类方程被称为常微分方程（ordinary differential equation, ODE )：

其中，表示含有自变量和未知函数及其各阶导数的已知函数。如果一个方程不含有未知函数关于自变量的导数，则不能称之为微分方程。

常微分方程被广泛用于现实问题的数学建模。电阻-电容电路的基尔霍夫定律（Kirchhoff's law）、自由落体的运动方程、捕食者与猎物的种群竞争方程等均可用常微分方程（组）来描述，如图2.1所示。在微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数被称为该微分方程的阶数。基尔霍夫定律中未知函数的最高阶导数为，即该方程为二阶常微分方程。以此类推，自由落体的运动方程为二阶常微分方程，种群竞争方程为一阶常微分方程组。

图2.1　3种常见的常微分方程

为了简化符号表示，在后续表述中做以下规定：

在式(2.2)中，如果函数是未知函数及其各阶导数的一次有理整式(多项式)，则称该微分方程为阶线性微分方程，否则称之为非线性微分方程。假设为因变量的已知函数，可将线性微分方程整理为一般表达形式：

当函数时，式(2.3)为齐次，否则为非齐次。

式(2.2)的解分为显式解和隐式解。如果将函数代人微分方程使之成为恒等式，则称为该方程的显式解；如果微分方程的解以关系式的形式展现，则称关系式为该方程的隐式解。例如，和为一阶微分方程

的显式解，为该方程的隐式解。

如果为阶常微分方程[式(2.2)]的解，且含有个相互独立的任意的常数，则称其为该方程的通解。在现实问题中，往往需要获得微分方程模型的特定解。此时，方程的解必须满足定解条件，也为特定数值。常见的定解条件包含初值条件和边界条件。求满足初值条件的解的问题称为初值问题，或柯西问题（Cauchy problem）；求满足边界条件的解的问题称为边值问题。

以初值问题为例，对于式(2.2)，其初值条件指当自变量在定义域内取某特定值时，未知函数及其低于方程阶数的导函数满足以下关系：

此处为给定的个常量或函数。可以看出，初值条件的数量应与微分方程的阶数相同；而初值条件取不同常量时，方程特解也随之变化。

综上所述，当对现实问题进行建模时，一个有效的数学模型不仅要包含微分方程，也要包含定解条件。