2.1.2　偏微分方程

偏微分方程比常微分方程拥有更宽广的应用范畴，是流体力学、量子物理、电磁学、生物化学、传染病动力学等诸多领域的主流数学建模形式。不同于常微分方程，偏微分方程中的未知函数往往含有两个及以上的自变量。其中，时间和空间是针对现实问题所建立的数学模型中常见的两类自变量。在偏微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数称为该微分方程的阶数。二阶偏微分方程是应用极为普遍的偏微分数学模型，也是本书的重点研究对象之一。

为了简化符号表示，在后续表述中做如下规定：

此处未知函数下角标的前后顺序表示求导的先后顺序。

当偏微分方程的最高阶导数为线性格式时，该方程可称为拟线性偏微分方程。以含有两个自变量的二阶偏微分方程为例，可将其写为如下形式：

根据最高阶导数的系数的相互关系，式(2.6)可分为 3 种类型，如表2.1所示。

表2.1　3种偏微分方程类型

不同类型的偏微分方程，其解呈现出不同的性质。在实际应用中，最高阶导数的系数可能都是自变量的函数。因此，一个偏微分方程可能在不同的空间位置上呈现出不同的方程性质。

在实际应用中，往往需要通过确定定解条件来获得现实问题的特定解。初值条件（多指时间维度）或边界条件（多指空间维度）的数量需与对应导数的阶数相同。表2.1 中的波方程含二阶时间导数，故需要两个初值条件；热传导方程仅需要一个初值条件；而拉普拉斯方程由于没有时间导数项，故不需要初值条件。

边界条件可以分为 3 种类型。令代表空间自变量取值空间的边界表面（如含有两个空间自变量则代表边界曲线），为边界条件中的已知信息。当微分方程的解在边界表面为已知函数时，称之为第一类边界条件（也称狄利克雷边界条件，Dirichlet boundary condition )：

当在边界表面向外法向导数为已知函数时，可以得到第二类边界条件（也称诺伊曼边界条件，Neumann boundary condition）：

第三类边界条件（也称罗宾边界条件，Robin boundary condition）为前两类边界条件的线性组合，即在边界表面的函数值和向外法向导数的线性组合为已知函数：

综上所述，微分方程的解由方程和定解条件的类型所决定。不同类型下，会呈现截然不同的性质，也需要特定的数值方法予以求解。因此，对现实问题进行建模时，不仅需要选择合理的微分方程，也需要选取合适的定解条件。